Im-0.5(-1,j0)Re
奈奎斯特曲线不包围（-1，j0）点，所以系统稳定
4.7解：(1)G?s??25
s?0.2s?1??0.08s?1?25
j??j0.2??1??j0.08??1?25
系统开环频率特性为 G?j???幅频特性为 A????????0.2??2?1??0.08??2?1相频特性为 ??????90?arctan0.2??arctan0.08? 首先绘制开环对数频率特性。 ① 对数幅频特性
L????20lgA????20lg25???0.2??2?1??0.08??2
?1其中 20lg25=28dB,转折频率?1?② 求相位裕量 令
11?5,?2??12.5。对数频率特性如图5.23。 0.20.08A??c??25?c??0.2?c?2?1??0.08?c?2
?1 ?25?1
?c?0.2?c?0.08?c25?11.6
0.2?0.08 ?c?3相位。 图4-16 对数频率特性
?(?c)??90??arctan(0.2?11.6)?arctan(0.08?11.6)??90??66.68??42.86???199.54?
相位裕量。
?(?c)?180???(?c)?180??199.54???19.54?
②求增益裕量 令
?(?j)??90??arctan0.2?j?arctan0.08?j??180?90??arctan0.2?j?arctan0.08?j
两边取正切 tan[90??arctan0.2?j]?tan[arctan0.08?j] 有
1?0.08?j
0.2?j解之，得?j?7.9。代入幅频特性，得 A(?j)?257.9?(0.2?7.9)?1?(0.08?7.9)?122?1.43
则增益裕量 GM?1?0.699。 1.43④判断闭环系统的稳定性
因为相位裕量 ?(?c)??19.54??0?，增益裕量 GM?0.699?1，故闭环系统不稳定。 (2)G(s)?100(s?1) 2s(0.025s?1)(0.005s?1)系统开环频率特征为 G(j?)?100(j??1)
(j?)2(j0.025??1)(j0.005??1)幅频特性为 A(?)?100??2?1??(0.025?)?1?(0.005?)?1222
相频特性为?(?)??180??arctan??arctan0.025??arctan0.005? 首先绘制开环对数频率特性。 ①对数幅频特性
?(?)?201gA(?)?201g100?2?1
?2?(0.025?)2?1?(0.005?)2?111?1，?2??40， 10.025其中201g100?40dB，转折频率?1?
图4-17 对数频率特性
?3?1?200。对数频率特性如图4-17所示。 0.005②求相位裕量 令A(?c)?100??c?12?c?(0.025?c)?1?(0.005?c)?1100??c222
??c2?0.025?c?1
?c?相位
100?63.25
0.025 ???180??arctan?c?arctan0.025?c?arctan0.005?c ??180??89.1??57.69??17.55???166.14? 相位裕量
?(?c)?180???(?c)?180??166.14??13.86? ③求增益裕量 令
?(?j)??180??arctan?j?arctan0.025?j?arctan0.005?j??180?
arctan?j?arctan0.025?j?arctan0.005?j
两边取正切
tan[arctan?j?arctan0.025?j]?tan[arctan0.005?j]
有
?j?0.025?jtan??tan??0.005?j 注：tan(???)?
1??j?0.025?j1?tan?tan? ?j?88.1 代入幅频特性，得 A(?j)?100??c?12?j2(0.025?j)?1?(0.005?j)?122?100??j?j?0.025?j2?0.52
则增益裕量GM?1?1.94。 0.52④判断闭环系统的稳定性
因为相位裕量?(?c)?13.86??0?，增益裕量GM?1.94?1，故闭环系统稳定， (3)G(s)?2
s(0.1s?1)(0.5s?1)系统开环频率特性为 G(j?)?幅频特性为
A(?)?相频特性为
?(?)??90??arctan0.1??arctan0.5? 首先绘制开环对数频率特性 ① 对数幅频特性
2
j?(j0.1??1)(j0.5??1)2
??(0.1?)2?1?(0.5?)2?1L(a)?20lgA(?)?20lg2??(0.1?)?1?(0.5?)?122
图4-18 系统的开环特性图
其中20lg2?6dB，转折频率?1?② 求相位裕量 令
11?2,?2??10.对数频率特性如图4-18所示。 0.50.1A(?t)?2??(0.1?c)2?1?(0.5?c)2?1
?2?1
?c?0.5?c?c?4?2相位
?(?c)??900?arctan(0.1?2)?arctan(0.5?2)??900?11.30?450??146.30
相位裕量
?(?c)?1800??(?c)?1800?146.30?33.70
③ 求增益裕量 令
?(?j)??900?arctan0.1?j?arctan0.5?j??1800
900?arctan0.1?j?arctan0.5?j
两边取正切
tan[90?arctan0.1?j]?tan[arctan0.5?j] 有
01?0.5?j 解之 得 ?j?4.47.带入幅频特性，得
0.1?jA(?j)?2??j?(0.1?j)2?1?(0.5?j)2?11?5. 0.2002?0.2
?j?0.5?j则增益裕量GM?④ 判断闭环系统的稳定性
因为相位裕量?(?c)?33.7?0，增益裕量GM?2?1，故闭环系统稳定 4.8
G(j?)H(j?)?20
j?(1?j0.5?)20幅频特性：GK(j?)??1?0.5?22
相频特性：∠G(j?)H(j?)??90??arctan0.5?
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