数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）
?(1?a)x1?x2?x3?x4?0,?2x?(2?a)x?2x?2x?0,?1234 ??3x1?3x2?(3?a)x3?3x4?0,??4x1?4x2?4x3?(4?a)x4?0,试问a取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.
（23）（本题满分9分）
?12?3???设矩阵?14?3的特征方程有一个二重根, 求a的值, 并讨论A是否可相似对角化.
???1a5???
2003年考研数学（二）真题
三、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1） 若x14?0时，(1?ax)?1 与xsinx是等价无穷小，则a= .
x?y4所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .
2（2） 设函数y=f(x)由方程xy?2ln（3）
y?2x的麦克劳林公式中xn项的系数是__________.
（4） 设曲线的极坐标方程为?的图形的面积为__________.
?ea?(a?0) ，则该曲线上相应于?从0变到2?的一段弧与极轴所围成
?1?11???，则 TT?1（5） 设?为3维列向量，?是?的转置. 若????11????1?11???T?= .
A2B?A?B?E，其中
?101???，则
20为三阶单位矩阵，若A?0?????201??（6） 设三阶方阵A,B满足E
B?________.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
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数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）
（1）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且limn??an?0,limn??bn?1,limn??cn??,则必有
(A)
an?bn对任意n成立. (B) bn?cn对任意n成立.
(C) 极限nlim??ancn不存在. (D) 极限limn??bncn不存在. [ ]
n（2）设a3n?1n?2?n?10x1?xndx, 则极限limn??nan等于
33 (A)
(1?e)2?1. (B) (1?e?1)2?1.
33 (C)
(1?e?1)2?1. (D) (1?e)2?1. [ ]
（3）已知
y?xlnx是微分方程y??yx??(xxy)的解，则?(y)的表达式为
（A）
y2y2?x2. (B) x2.
(C)
?x2y (D) x22.y2. [ ]
（4）设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有
(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.
(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]
y
O x ??（5）设Itanx1??40xdx,Ix2??40tanxdx, 则
(A)
I1?I2?1. (B) 1?I1?I2.
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数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）
(C)
I2?I1?1. (D) 1?I2?I1. [ ]
（6）设向量组I：?1,?2,?,?r可由向量组II：?1,?2,?,?s线性表示，则 (A) 当r?s时，向量组II必线性相关. (B) 当r?s时，向量组II必线性相关.
(C) 当r?s时，向量组I必线性相关. (D) 当r?s时，向量组I必线性相关.
[ ]
???ln(1?ax3)三 、（本题满分10分）设函数
f(x)??x?arcsinx,x?0,?6,x?0,
??eax?x2?ax?1,x?0,??xsinx4问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？
四 、（本题满分9分）
? 设函数y=y(x)由参数方程?x?1?2t2,?1?2lnt?e(t?1)所确定，求d2uy2x?9.
?y??1ududx
x五 、（本题满分9分）计算不定积分
?xearctan(1?x2)3dx.
2
六 、（本题满分12分）
设函数y=y(x)在(??,??)内具有二阶导数，且
y??0,x?x(y)是y=y(x)的反函数.
(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程d2xdy2?(y?sinx)(dxdy)3?0变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?32的解.
七 、（本题满分12分） 讨论曲线
y?4lnx?k与y?4x?ln4x的交点个数.
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数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）
八 、（本题满分12分）
设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(x轴平分.
(2) 求曲线 y=f(x)的方程；
(3) 已知曲线y=sinx在[0,?]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s.
九 、（本题满分10分）
有一平底容器，其内侧壁是由曲线x径为2 m.根据设计要求，当以3m321,)，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被22，容器的底面圆的半??(y)(y?0)绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图）的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以?m2/min/min的速率均匀扩
大（假设注入液体前，容器内无液体）.
(2) 根据t时刻液面的面积，写出t与?(y)之间的关系式； (3) 求曲线x??(y)的方程.
(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)
十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且
f?(x)?0. 若极限
x?alim?f(2x?a)存在，证明：
x?a(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点?，使
b2?a2?b?af(x)dx2?； f(?)2?bf(x)dx.
??a?a(3) 在(a,b) 内存在与(2)中?相异的点?，使
十 一、（本题满分10分）
f?(?)(b2?a2)??220????1若矩阵A?82a相似于对角阵?，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使PAP??.
????006??
十二 、（本题满分8分）
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数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1: ax?2by?3c?0， l2: bx?2cy?3a?0， l3: cx?2ay?3b?0.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c
?0.
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