考研数学二历年真题及答案详解(2003—2013)(5)

数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013） （23）（本题满分10分）

设

A为3阶矩阵，?1,?2为A的分别属于特征值?1,1特征向量，向量?3满足A?3??2??3，

（1）证明?1,?2,?3线性无关； （2）令P

2007年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当x???1,?2,?3?，求P?1AP.

?0?时，与x等价的无穷小量是

x （A）1?e （B）ln1?x1?x （C）1?x?1 （D）1?cosx [ ]

（2）函数

(ex?e)tanxf(x)?在???,??上的第一类间断点是x? [ ]

1??x?ex?e??? （A）0 （B）1 （C）?（3）如图，连续函数

?2 （D）

? 21的上、下半圆周，在区间

y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为

x??2,0?,?0,2?的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)??0f(t)dt，则下列结论正确的是：

（A）F(3)35??F(?2) (B) F(3)?F(2)

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数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）

（C）F(3)?34F(2) （D）F(3)??54F(?2) [ ] （4）设函数

f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是：

（A）若limf(x)存在，则0xf(0)?0 （B）若limf(x)?f(?x)存在，则x?0xf(0)?0 .

x? （C）若limf(x)存在，则0xf?(0)?0 （D）若limf(x)?f(?x)存在，则x?0xf?(0)?0.

x? [ ] （5）曲线

y?1x?ln?1?ex?的渐近线的条数为 （A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ] （6）设函数

f(x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0，令un?f(n)，则下列结论正确的是：(A) 若u1?u2 ，则?un?必收敛. (B) 若u1?u2 ，则?un?必发散

(C) 若u1?u2 ，则?un?必收敛. (D) 若u1?u2 ，则?un?必发散. [ ]

（7）二元函数f(x,y)在点?0,0?处可微的一个充要条件是[ ]

（A）

(x,ylim)??0,0??f(x,y)?f(0,0)??0.

（B）limf(x,0)?f(0,0)f(0,y)?f(0,0)x?0x?0,且limy?0y?0.

（C）

limf(x,y)?f(0,0)(x,y)??0,0?x2?y2?0.

（D）lim?x?0?fx?(x,0)?fx?(0,0)???0,且lim?fy?(0,y)?fy?(0,0)???0.

y?0??（8）设函数

f(x,y)连续，则二次积分?1?dx2?sinxf(x,y)dy等于

?1??（A） （B）?10dy???arcsinyf(x,y)dx 0dy???arcsinyf(x,y)dx

（C）

?1dy??arcsinyf(x,y)dx （D）1??arcsiny0??2?0dy??f(x,y)dx

2（9）设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是

线性相关，则

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数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）

(A) (C)

?1??2,?2??3,?3??1

(B) (D)

?1??2,?2??3,?3??1

?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. [ ]

?2?1?1??100??????1,B?010（10）设矩阵A??12????，则A与B

??1?12??000?????(A) 合同且相似 （B）合同，但不相似.

(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11）

limarctanx?sinx? __________. 3x?0x的点处的法线斜率为_________.

?x?cost?cos2t?（12）曲线?上对应于t?4?y?1?sint（13）设函数

y?1(n)，则y(0)?________.

2x?3y???4y??3y?2e2x的通解为y?________.

（14） 二阶常系数非齐次微分方程

（15） 设

?yx??z?z? __________. f(u,v)是二元可微函数，z?f?,?，则x?y?x?y?xy??0?0?（16）设矩阵A??0??0100??010?3，则A的秩为 .

001??000????0,???4?三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分

10

分)设

f(x)是区间上单调、可导的函数，且满足

?

f(x)0f(t)dt??t0?1xcost?sintdt，其中f?1是fsint?cost的反函数，求

f(x).

（18）（本题满分11分） 设D是位于曲线

y?xa?x2a(a?1,0?x???)下方、x轴上方的无界区域. （Ⅰ）求区域D绕x轴

旋转一周所成旋转体的体积V(a)；（Ⅱ）当a为何值时，V(a)最小？并求此最小值.

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数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）

（19）（本题满分10分）求微分方程

（20）（本题满分11分）已知函数

y??(x?y?2)?y?满足初始条件y(1)?y?(1)?1的特解.

f(u)具有二阶导数，且f?(0)?1，函数y?y(x)由方程y?xey?1?1所确

dz定，设z?f?lny?sinx?，求

dx

（21） (本题满分11分)设函数

d2zx?0,dx2x?0.

f(x),g(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，

f(a)?g(a),f(b)?g(b)，证明：存在??(a,b)，使得f??(?)?g??(?).

（22） (本题满分11分) 设二元函数

?x2,|x|?|y|?1?，计算二重积分??f(x,y)d?1f(x,y)??,1?|x|?|y|?2D?x2?y2?，

其中D

???x,y?|x|?|y|?2?.

（23） (本题满分11分)

?x1?x2?x3?0?设线性方程组?x1?2x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1有公共解，求a的值及所有公共解.

?2x?4x?ax3?02?1

（24） (本题满分11分)

设三阶对称矩阵量，记B?A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2，?1?(1,?1,1)T是A的属于?1的一个特征向

A5?4A3?E，其中E为3阶单位矩阵.

（I）验证?1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （II）求矩阵B.

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

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数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）

一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）曲线

y?x?4sinx 的水平渐近线方程为

5x?2cosx（2）设函数

?1x2?3?0sintdt,x?0在x?0处连续，则a? . f(x)??x??a,　　　　 x?0（3）广义积分

???0xdx? . 22(1?x)（4）微分方程（5）设函数

y??y(1?x)的通解是 xdydxx?0y?y(x)由方程y?1?xey确定，则

? （6）设矩阵

?21?A???，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则

??12?

B? . 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数别为

y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，?y与dy分

f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则[ ]

(A) (C)

0?dy??y. (B) 0??y?dy. ?y?dy?0.

(D)

dy??y?0 .

x（8）设

f(x)是奇函数，除x?0外处处连续，x?0是其第一类间断点，则?f(t)dt是

0（A）连续的奇函数. （C）在x

（B）连续的偶函数

?0间断的奇函数 （D）在x?0间断的偶函数.

[ ]

（9）设函数g(x)可微，h(x)?e

（A）ln3?1.

1?g(x),h?(1)?1,g?(1)?2，则g(1)等于

（B）?ln3?1.

[ ]

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（D）ln2?1.

（C）?ln2?1.

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