考研数学二历年真题及答案详解(2003—2013)(3)

数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013） (1)

曲线y?x2与曲线y?alnx(a?0)相切，则a?

A4e B3e C2e De

24.设m,n为正整数,则反常积分

?1mln(1?x)0nxdx的收敛性

A仅与m取值有关 B仅与n取值有关

C与m,n取值都有关 D与m,n取值都无关 5.设函数z?z(x,y)由方程F(yz?z?zx,x)?0确定,其中F为可微函数,且F2??0,则x?x?y?y= Ax

Bz C?x

D?z

6.(4)limx????nnni?1j?1(n?i)(n2?j2)=

xA

?11(1?x)(1?y2)dy1x0dx?0 B?10dx?0(1?x)(1?y)dy

111C

?0dx?10(1?x)(1?y)dy

D

?110dx?0(1?x)(1?y2)dy

7.设向量组I:?1,?2,?，?r可由向量组II：?1，?2，?，?s线性表示，下列命题正确的是：

A若向量组I线性无关，则r?s B若向量组I线性相关，则r>s

C若向量组II线性无关，则r?s D若向量组II线性相关，则r>s

??1????1(A) 设A为4阶对称矩阵,且A2?A?0,若A的秩为

3,则A相似于

A?1?? B??1??0???????1???1????1?C?? D??1???1????1?? ?0???0??二填空题

9.3阶常系数线性齐次微分方程

y????2y???y??2y?0的通解y=__________

???1??0??11

1 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）

2x310.曲线y?2的渐近线方程为_______________

x?111.函数

y?ln(1?2x)在x?0处的n阶导数y(n)(0)?__________

??时，对数螺线r?e?的弧长为___________

12.当0??13.已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l=12cm,w=5cm时，它的对角线增加的速率为___________ 14.设A，B为3阶矩阵，且三解答题

15.求函数f(x)?16.(1)比较 (2)记unA?3,B?2,A?1?B?2,则A?B?1?__________

?x21 (x2?t)e?tdt的单调区间与极值。n12?10lnt[ln(1?t)]dt与?tnlntdt(n?1,2,?)的大小,说明理由.

010x????lnt[ln(1?t)]ndt(n?1,2,?),求极限limun.

?x?2t?t2,5(t??1)所确定，其中?(t)具有2阶导数，且?(1)?，?2?y??(t),2dy3设函数y=f(x)由参数方程??(1)?6，已知?,求函数?(t)。217. dx4(1?t)3b18.一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为2时，

计算油的质量。

（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为19.

?kg/m3）

?2u?2u?2u设函数u?f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式42?12?52?0.?x?x?y?y?2u确定a,b的值，使等式在变换??x?ay,??x?by下简化?0????

计算二重积分I???r2sin?1?r2cos2?drd?,其中D?｛(r,?)0?r?sec?,0???}.4 20.D

12

?数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）

21.设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=

13,证明：存在

??(0,),??(,1),使得f?(?)?f?(?)??2??2.22.

1212

???设A??0?1?1??111??a????0?,b??1?.已知线性方程组Ax?b存在2个不同的解。?1??????23.设

（1）求?、a.(2)求方程组Ax?b的通解。?0?14???1(1,2,1)T，求a、Q. A???13a?，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第一列为6?4a0???

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）函数

x?x3f?x??的可去间断点的个数，则（ ）

sinnx

?A?1. ?B?2. ?C?3.

?D?无穷多个.

（2）当x?0时，

f?x??x?sinax与g?x??x2ln?1?bx?是等价无穷小，则（ ）

?A?a?1,b??（3）设函数z1. 6?B?a?1,b?111. ?C?a??1,b??. ?D?a??1,b?. 666?f?x,y?的全微分为dz?xdx?ydy，则点?0,0?（ ）

?A?不是f?x,y?的连续点. ?B?不是f?x,y?的极值点. ?C?是f?x,y?的极大值点. ?D?是f?x,y?的极小值点.

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数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013） （4）设函数

f?x,y?连续，则?dx?f?x,y?dy??dy?1x12224?yyf?x,y?dx?（ ）

?A??dx?1224?x14?yf?x,y?dy. f?x,y?dx.

?B??dx?1224?xx2f?x,y?dy.

?C??1dy?1（5）若

?D?.?1dy?yf?x,y?dx

22f???x?不变号，且曲线y?f?x?在点?1,1?上的曲率圆为x?y?2，则f?x?在区间?1,2?内（ ）

?A?有极值点，无零点. ?B?无极值点，有零点. ?C?有极值点，有零点. ?D?无极值点，无零点.

（6）设函数

y?f?x?在区间??1,3?上的图形为：

f(x)O -2 0 -1 1 2 3 x

则函数F?x???x0f?t?dt的图形为（ ）

f(x)1 -2 0 1 2 3 x?A?.

-1

?B?.

f(x)1 -2 0 1 2 3 x-1

14

数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）

f(x)f(x)1 1 -1 0 1 2 3 x-2 0 1 2 3 x?C?.

?D?.

-1

7）设A、B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A、B的伴随矩阵。若A=2，B=3，则分块矩阵??0?B伴随矩阵为（ ）

?A?.??03B*? ?B?.??02B*?

?2A*0? ??3A*0? ??C?.??03A*??D?.??02A*??2B*0?

??3B*0? ??108）设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP=?0??010?，若??002?

??P=（?T1，?2，?3），Q=（?1+?2，?2，?3），则QAQ为（ ）

?210??110??A?.??110??

??B?.??120????002???002???200??100??C?.??010??

??D?.??020??002???? ?002??二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

?1-t（9）曲线??x=??u20edu在（0，0）处的切线方程为 ??y?t2ln(2?t2)

A?0?的?15

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