考研数学二历年真题及答案详解(2003—2013)(6)

数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013） （10）函数

y?C1ex?C2e?2x?xex满足的一个微分方程是

（A）（C）

y???y??2y?3xex. y???y??2y?3xex.

?40

1（B）（D）

y???y??2y?3ex.

y???y??2y?3ex. [ ]

（11）设

f(x,y)为连续函数，则?d??f(rcos?,rsin?)rdr等于

0（Ａ）

?220dx?1?x2xf(x,y)dy. （B）?f(x,y)dx.

(D)

220dx?dy?1?x20f(x,y)dy.

(C)

?220dy?1?y2y?221?y200f(x,y)dx . [ ]

，已知

（12）设

f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0(x0,y0)是f(x,y)在约束条件

?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是 [ ]

(A) 若(B) 若

fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.

(C) 若(D) 若

（13）设?1,?2,?,?s均为n维列向量，

(B) (C)

A为m?n矩阵，下列选项正确的是 [ ]

A?1,A?2,?,A?s线性相关. A?1,A?2,?,A?s线性无关.

若?1,?2,?,?s线性相关，则若?1,?2,?,?s线性相关，则

(C) 若?1,?2,?,?s线性无关，则(D) 若?1,?2,?,?s线性无关，则

（14）设

A?1,A?2,?,A?s线性相关.

A?1,A?2,?,A?s线性无关.

A为

3阶矩阵，将

A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第2列得C，记

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数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）

?110???P??010?，则

?001???（Ａ）C（Ｃ）C?P?1AP. ?PTAP.

（Ｂ）C （Ｄ）C?PAP?1. ?PAPT.

［ ］

三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 试确定A,B,C的值，使得e穷小.

x(1?Bx?Cx2)?1?Ax?o(x3)，其中o(x3)是当x?0时比x3高阶的无

（16）（本题满分10分）求

arcsinex?exdx.

（17）（本题满分10分）设区域D

（18）（本题满分12分）设数列

?(x,y)x2?y2?1,x?0??， 计算二重积分

1?xydxdy. 22??1?x?yD?xn?满足0?x1??,xn?1?sinxn(n?1,2,?)

1?xn?1?xn2（Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；（Ⅱ）计算lim??. n??n???xn?

（19）（本题满分10分）

证明：当0?a?b??时，

bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a.

（20）（本题满分12分）

设函数

f(u)在(0,??)内具有二阶导数，且z?f?x?y22??2z?2z??0. 满足等式

?x2?y2（I）验证（II）若

f??(u)?f?(u)?0； u27

f(1)?0,f?(1)?1，求函数f(u)的表达式.

数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）

（21）（本题满分12分）

已知曲线L

?x?t2?1的方程?2?y?4t?t,(t?0)（I）讨论L的凹凸性；（II）过点(?1,0)引L的切线，求切点

(x0,y0)，并写出切线的方程；（III）求此切线与L（对应于x?x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积.

（22）（本题满分9分）

已知非齐次线性方程组

?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A的秩r?A??2；?ax?x?3x?bx?134?12（Ⅱ）求a,b的值及方程组的通解.

（23）（本题满分9分）

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量?1的两个解.

(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量； (Ⅱ) 求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得Q

2005年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

二、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设

T???1,2,?1?,?2??0,?1,1?TT是线性方程组Ax?0AQ??.

y?(1?sinx)x，则dyx?? = .

（2）曲线

y?(1?x)xxdx232的斜渐近线方程为 . （3）

?(2?x01)1?x2? .

（4）微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??1的解为 . 928

数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013） （5）当x?0时，?(x)?kx2与?(x)?1?xarcsinx?cosx是等价无穷小，则k= .

（6）设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵

A?(?1,?2,?3)，B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)， A?1，那么B? .

如果

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数

f(x)?limn1?xn??3n，则f(x)在(??,??)内

(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.

(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]

（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，\M(A)

F(x)是偶函数?f(x)是奇函数.

（B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数.

(C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数.

(D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ ]

?N\表示“M的充分必要条件是N”，则必有

?x?t2?2t,（9）设函数y=y(x)由参数方程?确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是

y?ln(1?t)?(A) (C)

11ln2?3. (B) ?ln2?3. 88?8ln2?3. (D) 8ln2?3. [ ] D?{(x,y)x2?y2?4,x?0,y?0}，f(x)为

D上的正值连续函数，a,b为常数，则

（10）设区域

??Daf(x)?bf(y)f(x)?(A)

f(y)d??

ab?. (B)

ab?2. (C)

(a?b)?. (D)

x?yx?ya?b?2 . [ ]

具有一阶导数，

（11）设函数u(x,y)则必有

(A)

??(x?y)??(x?y)???(t)dt, 其中函数?具有二阶导数，??2u?2u?22?x?y?2u?2u??22?x?y. （B） .

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数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）

(C)

?2u?2u?2?x?y?y1exx?1. (D)

?2u?2u?2?x?y?x. [ ]

（12）设函数

f(x)?(A)

,则 ?1 x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.

（B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.

(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. (D)

x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]

（13）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，A(?1的充分必要条件是

(A)

??2)线性无关

?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0. [ ]

?2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，则

（14）设A为n（n[ ]

A*的第1列与第2列得B*. (B) 交换A*的第1行与第2行得B*. ****(C) 交换A的第1列与第2列得?B. (D) 交换A的第1行与第2行得?B. 三 、解答题（本

(D)

交换

题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

?（15（）本题满分11分）设函数f(x)连续，且f(0)?0，求极限limx?0x0(x?t)f(t)dtx0.

x?f(x?t)dt

（16）（本题满分11分）

如图，C1和C2分别是

y?1(1?ex)和y?ex的图象，过点(0,1)的曲线C32是一单调增函数的图象. 过C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和

ly. 记C1,C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2,C3与ly所围图形的面积为

S2(y).如果总有S1(x)?S2(y)，求曲线C3的方程x??(y).

（17）（本题满分11分）

如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲

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