数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）
过(0,1)点作曲线L:
(18)(本题满分 10 分)
计算二重积分
y?lnx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成,求区域
D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
??xyd?，其中区域D为曲线r?1?cos??0?????与极轴围成.
D(19)(本题满分10分)
f(x)满足方程f??(x)?f?(x)?2f(x)?0及f??(x)?f(x)?2ex,
(I) 求f(x)的表达式;
已知函数(II) 求曲线
y?f(x2)?f(?t2)dt的拐点.
0x(20)(本题满分10分)
1?xx2 证明xln,(?1?x?1). ?cosx?1?1?x2(21)(本题满分10 分)
(I)证明方程xn?1?+xn-1???x?1?n?1的整数?，在区间?,1?内有且仅有一个实根；
?2?n??(II)记(I)中的实根为xn，证明limxn存在，并求此极限. (22)(本题满分11 分)
?1?0设A???0??aa00??1????1a0??1?，???
?0?01a????001??0?(I) 计算行列式A；
(II) 当实数a为何值时，方程组(23)(本题满分11 分)
Ax??有无穷多解，并求其通解.
?101???011?，二次型f?x,x,x??xT?ATA?x的秩为2， 已知A??123??10a???0a?1??(I) 求实数a的值；
(II) 求正交变换x?Qy将
f化为标准形.
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、 选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，
6
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）
请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 ．．．（1）已知当x?0时，函数
（A）k（C）kf(x)?3sinx?sin3x与cxk是等价无穷小，则（ ）
?1,c?4 （B）k?1,c??4 ?3,c?4 （D）k?3,c??4 f(x)在x?0处可导，且
（2）设函数
x2f(x)?2f(x3)?（ ） f(0)?0，则limx?0x3（A）?2f（3）函数
?(0) （B）?f?(0) （C）f?(0) （D）0
的驻点个数为（ ）
f(x)?ln(x?1)(x?2)(x?3)（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （4）微分方程
y????2y?e?x?e??x(??0)的特解形式为（ ）
?x（A）a(e?e??x) （B）ax(e?x?e??x) ?be??x) （D）x2(ae?x?be??x)
（C）x(ae（5）设函数
?xf(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)?0，g(0)?0，f?(0)?g?(0)?0则函数
z?f(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）
（A）（C）
f??(0)?0，g??(0)?0 （B）f??(0)?0，g??(0)?0 f??(0)?0，g??(0)?0 （D）f??(0)?0，g??(0)?0
??0?0（6）设I??4lnsinxdx，J??4lncotxdx，K??4lncosxdx，则I0，J，K的大小关系为（ ）
（A）I （C）J（7）设
?J?K （B）I?K?J?I?K （D）K?J?I3阶矩阵，将
A为A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵。记
7
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）
?100??100?????P1??110?，P2??001?，则A=（ ）
?001??010????? （A）P11P2 （B）P（8）设
?1P2 （C）P2P1 （D）P2P1?1
*A?(?1,?2,?3,?4)是
4阶矩阵，A为
,0,1,0)T是方程组Ax?0的一个基础解A的伴随矩阵。若(1 系，则
A*x?0的基础解系可为（ ）
（A）?1,?3 （B）?1,?2 （C）?1,?2,?3 （D）?2,?3,?4 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸指定位置上。 ．．．
（9）lim??1?2x?0??2x???? 。 ?1x（10）微分方程（11）曲线
y'?y?e?xcosx满足条件y(0)?0的解为y? 。
xy??tantdt (0?x?0?4)的弧长s? 。
（12）设函数
????e?kx,x?0,f(x)?? ??0，则xf(x)dx? 。 ???x?0,?0,（13）设平面区域D由直线
y?x，圆x2?y2?2y及y轴所围成，则二重积分??xyd?? 。
D（14）二次型
22f(x1,x2,x3)?x12?3x2?x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3，则f的正惯性指数为 。
三、解答题：15～23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应字说明、 ．．．
证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分10分）
? 已知函数F(x)?
（16）（本题满分11分）
x0ln(1?t2)dtx?，设
x???limF(x)?lim?F(x)?0，试求?的取值范围。
x?0 8
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）
131?x?t?t?,??33 设函数y?y(x)由参数方程? 确定，求y?y(x)的极值和曲线y?y(x)的凹凸区间
?y?1t3?t?1?33?及拐点。
（17）（本题满分9分） 设函数
z?f(xy,yg(x))，其中函数f。
x?1,y?1具有二阶连续偏导数，函数
g(x)可导且在x?1处取得极值
?2zg(1)?1，求
?x?y
（18）（本题满分10分） 设函数
y(x)具有二阶导数，且曲线l:y?y(x)与直线y?x相切于原点，记?为曲线l在点(x,y)处切
线的倾角，若
d?dy，求y(x)的表达式。 ?dxdx（19）（本题满分10分）
（I）证明：对任意的正整数n，都有
1?1?1?ln?1???成立。 n?1?n?n （II）设an
?1?11????lnn(n?1,2,?)，证明数列?an?收敛。 2n（20）（本题满分11分）
一容器的内侧是由图中曲线绕
y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由
1x2?y2?2y(y?)2与
1x2?y2?1(y?)连接而成。
2 （I）求容器的容积；
（II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？
（长度单位：m，重力加速度为gm
（21）（本题满分11分）
9
s2，水的密度为103kgm3）
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013） 已知函数
f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)?0，f(x,1)?0，??f(x,y)dxdy?a，其中
D??(x,y)dxdy。 D??(x,y)0?x?1,0?y?1?，计算二重积分I???xyfxyD
（22）（本题满分11分） 设向量组?1?(1,0,1)T，?2?(0,1,1)T，?3?(1,3,5)T不能由向量组?1?(1,1,1)T，?2?(1,2,3)T，
?3?(3,4,a)T线性表示。
（I）求a的值；
（II）将?1,?2,?3用?1,?2,?3线性表示。
（23）（本题满分11分）
1???11??1????0???00?。 设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且A?0??11??11????? （I）求
A的所有的特征值与特征向量；
（II）求矩阵
A。
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一选择题
(1)
x2?x1函数f(x)?21?2的无穷间断点的个数为
x?1xA0 B1 C2 D3 2.设
y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y??p(x)y?q(x)的两个特解，若常数?,?使?y1??y2是该方程的
解，?y1??y2是该方程对应的齐次方程的解，则
1111,?? B???,??? 22222122C??,?? D??,??
3333A?? 10
百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库考研数学二历年真题及答案详解(2003—2013)(2)在线全文阅读。
相关推荐：