考研数学二历年真题及答案详解(2003—2013)

数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．设cosx?1?xsin?(x),?(x)??2，当

x?0时，??x? （ ）

（A）比x高阶的无穷小 （B）比x低阶的无穷小 （C）与x同阶但不等价无穷小 （D）与x等价无穷小 2．已知

y?f?x?是由方程cos?xy??lny?x?1确定，则limn?f??2??n??????n???1???（ ） ?（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2 ３．设

f(x)???sinx,x?[0,?)x2,x?[?,2?]，F(x)??0f(t)dt则（ ）

?（Ａ）x??为F(x)的跳跃间断点． （Ｂ）x??为F(x)的可去间断点．

（Ｃ）F(x)在x??连续但不可导． （Ｄ）F(x)在x??可导．

?f(x)??1???1,1?x?e４．设函数

?(x?1)，且反常积分??f?x?dx收敛，则（ ）?1??xln??1x,x?e? （A）???2 （B）a?2 （C）?2?a?0 （D）0???2

５．设函数z?yx?zxf?xy?，其中f可微，则

y?x??z?y?（ ） （A）2yf'(xy) （B）?2yf'(xy)（C）

2xf(xy) （D）?2xf(xy) 6．设Dk是圆域D??(x,y)|x2?y2?1?的第k象限的部分，记Ik???(y?x)dxdy，则（ ）Dk（A）I1?0 （B）I2?0 （C）I3?0 （D）I4?0

7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则

（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价． （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价． （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价． （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．

1

数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）

?1a1??200?????8．矩阵?aba?与矩阵?0b0?相似的充分必要条件是

?1a1??000?????（A）a（C）a?0,b?2 （B）a?0，b为任意常数 ?2,b?0 （D）a?2，b为任意常数

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9．

ln(1?x)??lim?2??? ． x?0x??f(x)??x?11x10．设函数

1?etdt，则y?f(x)的反函数x?f?1(y)在y?0处的导数

dx|y?0? ． dy11．设封闭曲线L的极坐标方程为r为 ．

?????cos3???????t为参数，则

6??6L所围成的平面图形的面积

??x?arctant12．曲线上?2??y?ln1?t13．已知

对应于t?1处的法线方程为 ．

y1?e3x?xe2x,y2?ex?xe2x,y3??xe2x是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足

y(0)?0,y'(0)?1方程的解为 ．

14．设

A??aij?是三阶非零矩阵，A为其行列式，

Aij为元素

aij的代数余子式，且满足

Aij?aij?0(i,j?1,2,3)，则A三、解答题

15．（本题满分10分） 当x= ．

?0时，1?cosxcos2xcos3x与axn是等价无穷小，求常数a,n．

16．（本题满分10分） 设D是由曲线

y?3x，直线x?a(a?0)及x轴所转成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴和y轴旋转一

?Vy，求a的值．

2

周所形成的立体的体积，若10Vx

数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013） 17．（本题满分10分） 设平面区域D是由曲线x18．（本题满分10分） 设奇函数

?3y,y?3x,x?y?8所围成，求??x2dxdy．

Df(x)在??1,1?上具有二阶导数，且f(1)?1，证明：

（1）存在??(0,1)，使得f'????1；

f??(?)?f?(?)?1．

（2）存在??(?1,1)，使得19．（本题满分10分） 求曲线x3?xy?y3?1(x?0,y?0)上的点到坐标原点的最长距离和最短距离．

20．（本题满分11） 设函数⑴求

f(x)?lnx?1 xf(x)的最小值；

⑵设数列

?xn?满足lnxn?1xn?1?1，证明极限limxn存在，并求此极限．

n??21．（本题满分11） 设曲线L的方程为（1）求L的弧长．

（2）设D是由曲线L，直线x22．本题满分11分） 设

y?121x?lnx(1?x?e)． 42?1,x?e及x轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标．

?1a??01???A??,B??10??1b??，问当a,b为何值时，存在矩阵C，使得AC?CA?B，并求出所有矩阵C．

?????a1??b1?????f(x1,x2,x3)?2(a1x1?a2x2?a3x3)2?(b1x1?b2x2?b3x3)2．记???a2?,???b2?．

?a??b??3??3?23（本题满分11分）

设二次型

（1）证明二次型

f对应的矩阵为

2??T???T；

（2）若?,?正交且为单位向量，证明

f在正交变换下的标准形为

22y12?y2．

3

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2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

x2?x(1)曲线y?2的渐近线条数 ( )

x?1(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数

f(x)?(ex?1)(e2x?2)?(enx?n)，其中n为正整数,则f?(0)? ( )

n?1(A) (?1)(3) 设an(n?1)! (B) (?1)n(n?1)! (C) (?1)n?1n! (D) (?1)nn!

?0(n?1,2,3?),Sn?a1?a2?a3???an，则数列?Sn?有界是数列?an?收敛的

( )

(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要 (4) 设Ikk?2??exsinxdx,(k?1,2,3),则有

0 ( )

(A) I1?I2?I3 (B) I3?I2?I1 (C) I2?I3?I1 (D) I2?I1?I3

为可微函数，且对任意的x,y都有f(x,y）(5) 设函数

?(x,y)?(x,y)?0,?0,则使不等式f(x1,y1)?f(x2,y2)?x?y成立的一个充分条件是

( )

(A) x1?x2,y1?y2 (B) x1?x2,y1?y2 (C) x1?x2,y1?y2 (D) x1?x2,y1?y2

(6) 设区域D由曲线

y?sinx,x??,y?1围成，则??(x5y?1)dxdy?

2D ( )

?(A) ? (B) 2 (C) -2 (D) -?

?0??0??1???1????????? (7) 设α1?0,α2?1 ,α3??1 ,α4?1 ,其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列向量组线性相关

?????????c??c??c??c??3??4??1??2?的为 ( )

(A)α1,α2,α3 (B) α1,α2,α4 (C)α1,α3,α4 (D)α2,α3,α4

4

数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）

?100????1(8) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且PAP?010.若P??α1,α2,α3?，Q??α1?α2,α2,α3????002???则Q?1AQ? ( )

?100??100??200??200?????????(A) 020 (B) 010 (C) 010 (D)020

?????????001??002??002??001?????????

二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

d2y(9) 设y?y(x)是由方程x?y?1?e所确定的隐函数，则

dx22yx?0? .

(10)

11??1 limn??????22222?n??1?n2?nn?n?? .

(11) 设z?1??z?z?f?lnx??,其中函数f?u?可微，则x?y2? .

y?x?y??ydx??x?3y2?dy?0满足条件yx?1(12) 微分方程

?1的解为y? .

(13) 曲线

y?x2?x?x?0?上曲率为

22的点的坐标是 .

(14) 设

A为3阶矩阵，A=3，A*为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则BA*? .

三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ．．．(15)(本题满分 10 分)

已知函数

f?x??(I)求a的值; (II)若x?0时，(16)(本题满分 10 分)

求函数

1?x1?，记a?limf?x?，

x?0sinxxf?x??a与xk是同阶无穷小，求常数k的值.

?x2?y22f?x,y??xe的极值.

(17)(本题满分12分)

5

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