数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013） （10）已知
+?kx???edx?1,则k?
（11）lim1?xesinnxdx?
n???0yd2y（12）设y?y(x)是由方程xy?e?x?1确定的隐函数，则
dx2（13）函数
x=0=
1?上的最小值为 y?x2x在区间?0，?200???TTT(14)设?，?为3维列向量，?为?的转置，若矩阵??相似于000，则??= ???000???
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求极限limx?0?1?cosx??x?ln(1?tanx)?
sin4x
（16）（本题满分10 分）计算不定积分
?ln(1?1?x)dx (x?0) x?2z f具有2阶连续偏导数，求dz与
?x?y（17）（本题满分10分）设z
（18）（本题满分10分） 设非负函数
?f?x?y,x?y,xy?，其中
y?y?x???x?0?满足微分方程xy???y??2?0，当曲线y?y?x??过原点时，其与直线x?1及
y?0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。
（19）（本题满分10分）求二重积分
2???x?y?dxdy，
D其中D?
??x,y??x?1???y?1?2?2,y?x?
16
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013） （20）（本题满分12分） 设
内过（-（-?，?）y?y(x)是区间
?的光滑曲线，当-??x?0时，曲线上任一点处的法线都过原点，，）22?当0?
x??时，函数y(x)满足y???y?x?0。求y(x)的表达式
（21）（本题满分11分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数
f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?可导，则存在???a,b?，使得
f?b??f?a??f?????b?a?（Ⅱ）证明：若函数f?x?在x?0处连续，在?0,?????0?内可导，且
x?0?limf??x??A，则f???0?存在，且f???0??A。
??1??1?1?1???，???1?
（22）（本题满分11分）设A??1111??????2??0?4?2?????（Ⅰ）求满足A?2??1,A2?3??1的所有向量?2,?3
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量?2,?3，证明：?1,?2,?3线性无关。
（23）（本题满分11分）设二次型（Ⅰ）求二次型
22f?x1,x2,x3??ax12?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3
ff的矩阵的所有特征值；
2y12?y2，求a的值。
（Ⅱ）若二次型
的规范形为
2008年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设
f(x)?x2(x?1)(x?2)，则f'(x)的零点个数为（ ）
?A?0
?B?1. ?C?2 ?D?3
17
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013） （2）曲线方程为
y?f(x)函数在区间[0,a]上有连续导数，则定积分?aft(x)dx（ ）
0a?A?曲边梯形ABOD面积. ?B?梯形ABOD面积. ?C?曲边三角形ACD面积. ?D?三角形ACD面积.
（3）在下列微分方程中，以
y?C1ex?C2cos2x?C3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为通解的是（ ）
?A??C?y'''?y''?4y'?4y?0 y'''?y''?4y'?4y?0
?B?y'''?y''?4y'?4y?0
?D?y'''?y''?4y'?4y?0
（5）设函数
f(x)在(??,??)内单调有界，?xn?为数列，下列命题正确的是（ ）
?A?若?xn?收敛，则?f(xn)?收敛. ?C?若?f(xn)?收敛，则?xn?收敛.
（6）设函数
?B?若?xn?单调，则?f(xn)?收敛. ?D?若?f(xn)?单调，则?xn?收敛.
dxdy，其中区域Duv为图中阴影部分，则
f连续，若F(u,v)???Duvf(x2?y2)x2?y2?F? ?u?A?vf(u2) ?C?vf(u)
（7）设
vf(u2) uv?D?f(u)
u?B?A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若A3?0，则（ ）
?A?E?A不可逆，E?A不可逆. ?C?E?A可逆，E?A可逆.
（8）设
?B?E?A不可逆，E?A可逆. ?D?E?A可逆，E?A不可逆.
?12?A???，则在实数域上与A合同的矩阵为（ ）
21??18
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）
??21?A????.
?1?2?
?2?1?B????.
??12??C???21??. 12??
?D???1?2??.
?21??二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数
f(x)连续，且limx?02?x1?cos[xf(x)](e?1)f(x)x2?1，则f(0)?____.
（10）微分方程(y?x（11）曲线sine)dx?xdy?0的通解是y?____.
?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????.
23（12）曲线
y?(x?5)x?y?????x?xy的拐点坐标为______.
（13）设z，则
?z?x(1,2)?____.
2A??48，则??___.
（14）设3阶矩阵A的特征值为2,3,?.若行列式
三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
sinx?sin?sinx??sinx???(15)（本题满分9分）求极限limx?0x4
(16)（本题满分10分）
.
x?x(t)??设函数y?y(x)由参数方程?t2y??ln(1?u)du?0??2y. 2?x
(17)（本题满分9分）求积分
?dx?x??2te?0确定，其中x(t)是初值问题?dt的解.求
?xt?0?0??1xarcsinx1?x20dx.
19
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013） (18)（本题满分11分）
求二重积分
(19)（本题满分11分）
设
??max(xy,1)dxdy,其中D?{(x,y)0?x?2,0?y?2}
Df(x)是区间?0,???上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)?1.对任意的t??0,???，直线
曲线y?f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数x?0,x?t，
值上等于其体积的2倍，求函数
(20)（本题满分11分）
(1) 证明积分中值定理：若函数
f(x)的表达式.
f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点??[a,b]，使得
3?
ba )(2)若函数?(x)具有二阶导数，且满足?(2)??(1),?(2)??(x)dx，证明至f(x)dx?f?()(b?a?2少存在一点??(1,3),使得???(?)?0
（21）（本题满分11分）
求函数u
（22）（本题满分12分）
?x2?y2?z2在约束条件z?x2?y2和x?y?z?4下的最大值与最小值.
设矩阵
?2a1??2?a2a??A?????1???2a2a??n?n，现矩阵
A满足方程
AX?B，其中X??x1,?,xn?T，
B??1,0,?,0?，
（1）求证
A??n?1?an；
（2）a为何值，方程组有唯一解，并求x1； （3）a为何值，方程组有无穷多解，并求通解.
20
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