连接AF，BF、AD的延长线相交于点G， ∵∠FBC=30o，∠DCB=75o，∴∠BFC=75o，故BC=BF 由(2)知：BA=BC，故BA=BF，∵∠ABF=60o，∴AB=BF=FA，
A 又∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠FAG=∠G=30o
∴FG =FA= FB ???????????（10分） ∵∠G=∠FBC=30o，∠DFG=∠CFB，FB=FG
∴△BCF≌△GDF ?????????（11分） E ∴DF=CF，即点F是线段CD的中点．
DF
∴ =1???????????????（12分） FC
D F C G B
图2
110、（2010年江苏省盐城市）28．（本题满分12分）已知：函数
y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点． （1）求这个函数关系式；
2
（2）如图所示，设二次函数y=ax+x+1图象的顶点为B，与y．．
轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径
的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；
（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为
M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．
y A B O x
【解答】
28．解：（1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点???(1分) 1
当a≠0时，△=1- 4a=0，a = ，此时，图象与x轴只有一个公共点． 41
∴函数的解析式为：y=x+1 或`y= x2+x+1??（3分） 4 （2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x 轴于点C．
2
∵y=ax+x+1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为： 1
y= x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点 4
y P M Q E B C -2 1 A 1 D O x 坐标为A（0，1）???（4分）
∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO ∴Rt△PCB∽Rt△BOA
∴PC?BC，故PC=2BC，????????????????????（5分）
OBAO设P点的坐标为(x，y)，∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，∴∠PBO是钝角，∴x<-2 ∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x)
11
∵点P在二次函数y= x2+x+1的图象上，∴-4-2x= x2+x+1???????（6分）
44解之得：x1=-2，x2=-10
∵x<-2 ∴x=-10，∴P点的坐标为：(-10，16)?????????????（7分）
2
（3）点M不在抛物线y=ax+x+1 上?????????????????（8分）
由（2）知：C为圆与x 轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂
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线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ
1
∴QE∥MD，QE= MD，QE⊥CE
2
∵CM⊥PB，QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB
1
∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB =
2
816
CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，故BE= ，QE=
55
1816
∴Q点的坐标为(- ， )
55
1432
可求得M点的坐标为( ， )???????????????????（11分）
55
1141414432∵()2+()+1 = ≠ 455255
2
∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线y=ax+x+1 上????????（12分）
111、（2010年江苏省镇江市）27．探索发现（本小题满分9分）
如图，在直角坐标系xOy中,Rt?OAB和Rt?OCD的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，B，
D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC=CD，OD=2，M为OD的中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时，Rt?OAB的面积恒为1. 2 试解决下列问题：
（1）填空：点D坐标为 ； （2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简； （3）等式BO=BD能否成立？为什么？ （4）设CM与AB相交于F，当△BDE为直角三角形时，判断四边形BDCF
的形状，并证明你的结论.
【解答】
27．（1）(2,2)；（1分） （2）由Rt?OAB的面积为11,得B(t,), 2t?BD2?AC2?(AB?CD)2,
111?BD2?(t?2)2?(?2)2?t2?2?22(t?)?4 ① （2分）
ttt111?(t?)2?22(t?)?2?(t??2)2. （3分）
ttt11?BD?|t??2|?t??2. ② （4分）（注：不去绝
tt对值符号不扣分）
（3）[法一]若OB=BD，则OB?BD.
22在Rt?OAB中,OB2?OA2?AB2?t2?1, 2t第 32 页 共 35 页
由①得t2?1t2?t2??t2?22(t?1t)?4, （5分）
得t?1t?2,?t2?2t?1?0,???(2)2?4??2?0,?此方程无解. ?OB?BD.(6分)
[法二]若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上.
?C(2,0),在等腰Rt?OCM中,可求得M(22,22), ∴直线CM的函数关系式为y??x?2， ③ （5分）
由Rt?OAB的面积为112,得B点坐标满足函数关系式y?x,联立③，④得：x2?2x?1?0，
???(2)2?4??2?0,?此方程无解.?OB?BD.(6分)
[法三]若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上，如图27 – 1 过点B作BG?y轴于G,CM交y轴于H,
?S?OBG?S?OAB?12,而S?S1111?OMH?MOC?2S?DOC?2?2?2?2?2,(5分)
显然与S?HNO?S?0BG矛盾.?OB?BD.(6分)4）如果?BDE为直角三角形,因为?BED?45?，
①当?EBD?90?时,此时F,E,M三点重合，如图27 – 2
?BF?x轴,DC?x轴,?BF//DC.
∴此时四边形BDCF为直角梯形.（7分） ②当?EBD?90?时,如图27 – 3
?CF?OD,?BD//CF.又AB?x轴,DC?x轴,?BF//DC.
∴此时四边形BDCF为平行四边形.（8分）
下证平行四边形BDCF为菱形：
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④
（[法一]在?BDO中,OB2?OD2?BD2，
?t2?11112?4?t??22(t?)?4,?t??22,
ttt2t2[方法①]t2?22t?1?0,?BD在OD上方
11解得t?2?1,?2?;或t?2?1,?2?1（舍去）.
tt得B(2?1,2?1), [方法②]由②得：BD?t?此时BD?CD?1?2?22?2?2. t2,
∴此时四边形BDCF为菱形（9分） [法二]在等腰Rt?OAE与等腰Rt?EDB中
?OA?AE?t,OE?2t,则ED?BD?2?2T.?AB?AE?BE?t?2(2?2t)?22?t,11?22?t?,即t??22.以下同[法一].tt此时BD?CD?2,?此时四边形BDCF为菱形.(9分)
112、（2010年江苏省镇江市）28．（2010江苏 镇江）深化理解（本小题满分9分） 对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为?x?,
即：当n为非负整数时，如果n?
11?x?n?,则?x??n. 22如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.493>=1，<2>=2，<3.5>=<4.12>=4，?
试解决下列问题：
（1）填空：①???= （?为圆周率）； ②如果?2x?1??3,则实数x的取值范围为 ； （2）①当x?0,m为非负整数时,求证:?x?m??m??x?；
②举例说明?x?y???x???y?不恒成立；
（3）求满足?x??4x的所有非负实数x的值； 32 （4）设n为常数，且为正整数，函数y?x?x?值y为整数的个数记为a;满足? 求证：a?b?2n.
1的自变量x在n?x?n?1范围内取值时，函数4k??n的所有整数k的个数记为b.
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【解答】
28．（1）①3；（1分）② （2）①证明：
[法一]设?x??n,则n?74?x?； （2分） 4911?x?n?,n为非负整数； （3分） 2211又(n?m)??x?m?(n?m)?,且n?m为非负整数，
22??x?m??n?m?m??x?. （4分）
[法二]设x?k?b,k为x的整数部分,b为其小数部分.
1?当0?b?0.5时,?x??k,?m?x?(m?k)?b,m?k为m?x的整数部分,b为其小数部分.??m?x??m?k??x?m??m??x?.(3分)
2?当b?0.5时,?x??k?1,则m?x?(m?k)?b,m?k为m?x的整数部分,b为其小数部分.??x?m??m?k?1,??m?x??m??x?.综上所述:?x?m??m??x?.(4分)②举反例：?0.6???0.7??1?1?2,而?0.6?0.7???1.3??1,
??0.6???0.7???0.6?0.7?,??x?y???x???y?不一定成立.（5分）
（3）[法一]作y??x?,y?4x的图象，如图28 （6分） 3 （注：只要求画出草图，如果没有把有关点画成空心点，不扣分）
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