2010年中考数学压轴题(四)及解答(2)

（2）设AD为x，梯形MDEN的面积为y，试求y与x的函数关系式. 当x为何值时y有最大值？

【解答】

25.（1）证明：

因为DE∥BC，所以?ADE＝?B,?AED??C，

所以?ADE ∽△ABC. …………………..2分 （2）因为S△ABC?24，?ADE ∽△ABC，相似比为 所以

x， 62S?ADEx?()2，所以S△ADE?x2 …………………..4分

3S?ABC6A' 因为?1??2,?1??B?,?2??B?MD

BC所以?B???B?MD 21DE所以B?D?MD BC又B?D?BD，所以MD?BD

所以AM?AB?MB?6?2(6?x)?2x?6. …………………..6分

MN' 同理，△PEF∽△ABC, S△AMN? 所以y?S?ADE?S?AMN?28(x?3)2 3228x?(x?3)2??2x2?16x?24. …………………..8分 33 配方得y??2?x?4??8

所以当x?4时，y有最大值. …………………..10分

86、（2010年湖南省郴州市）26．（本题满分10分）如图（1），抛物线y?x?x?4与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线y?x?b与抛物线交于点B、C.

（1）求点A的坐标；

（2)当b=0时（如图（2）），?ABE与?ACE的面积大小关系如何？当b??4时，上述关系还成立吗，为什么？ （3）是否存在这样的b，使得?BOC是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由. yy BC2CEOEA图（1） xOBAx图（2） 第26题 第 6 页 共 35 页

【解答】

26. （1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，－4）…………………..2分 （2）当b＝0时，直线为y?x，由??y?x2?y?x?x?4解得??x1?2?x2??2，? y?2y??2?1?2所以B、C的坐标分别为（－2，－2），（2，2） 11S?ABE??4?2?4，S?ACE??4?2?4

22所以S?ABE?S?ACE（利用同底等高说明面积相等亦可） …………………..4分 当b??4时，仍有S?ABE?S?ACE成立. 理由如下

yC???y?x?b?x1?b?4?x2??b?4由?，解得?，? 2y?x?x?4???y1?b?4?b??y2??b?4?b所以B、C的坐标分别为（－b?4，－b?4+b），（b?4，b?4+b）， 作BF?y轴，CG?y轴，垂足分别为F、G，则BF?CG?b?4， 而?ABE和?ACE是同底的两个三角形，

BGROFQ所以S?ABE?S?ACE. …………………..6分 （3）存在这样的b.

因为BF?CG,?BEF??CEG,?BFE??CGE?90?，所以?BEF??CEG

所以BE?CE，即E为BC的中点，所以当OE=CE时，?OBC为直角三角形 …………………..8分 因为GE?b?4?b?b?b?4?GC，所以 CE?2?b?4，而OE?b 所以2?b?4?b，解得b1?4,b2??2，所以当b＝4或－2时，ΔOBC为直角三角形. …….10分

87、（2010年湖南省怀化市）26. (本题满分10分)

图9是二次函数y?(x?m)2?k的图象，其顶点坐标为M(1,-4). （1）求出图象与x轴的交点A,B的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S?PAB?5S?MAB,若存在， 4求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余

部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：

当直线y?x?b(b?1)与此图象有两个公共点时，b的取值范围.

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图9

【解答】

26. 解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数y?(x?m)2?k的顶点坐标，

所以y?(x?1)2?4?x2?2x?3 ???????????????2分 令x2?2x?3?0,解之得x1??1,x2?3.

∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0）????????????4分 (2) 在二次函数的图象上存在点P，使S?PAB?设p(x,y),则S?PAB∴2y?5S?MAB??????????5分 411?AB?y?2y，又S?MAB?AB??4?8, 225?8,即y??5. 4∵二次函数的最小值为-4，∴y?5. 当y?5时，x??2,或x?4.

故P点坐标为（-2，5）或（4，5）?????7分

（3）如图1，当直线y?x?b(b?1)经过A点时，可得

图1

b?1.?????8分

当直线y?x?b(b?1)经过B点时，可得b??3.???9分 由图可知符合题意的b的取值范围为?3?b?1?????10分

88、（2010年湖南省湘潭市）25．（本题满分10分）

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0

（3）设四边形AFEC的面积为y，求y 关于t的函数关系式，并求出y的最小值．

DCEo

A

FB25题图

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【解答】

25．（本题满分10分）

解：（1）∵CD∥AB,∴∠ BAC=∠DCA ????????1分

又AC⊥BC, ∠ACB=90 ∴∠D=∠ACB= 90????????2分 ∴△ACD∽△BAC ????????3分 （2）Rt?ABC中，AC?o

o

AB2?BC2?8 ????????4分

ACAB ∵△ACD∽△BAC ∴DC?AC ????????5分 即

DC8? 解得：DC?6.4 810????????6分

（3） 过点E作AB的垂线，垂足为G，

??ACB??EGB?90O,?B公共

∴△ACB∽△EGB ????????7分

4 ∴ EG?BE 即EG?t 故EG?t ???????8分

5810ACABy?S?ABC?S?BEF

1144?6?8??10?2t??t?t2?4t?24 ????????9分 2255５45=(t?)2?19 故当t=时，y的最小值为19 ??????10分

２52=

89、（2010年湖南省湘潭市）26．（本题满分10分）

如图，直线y??x?6与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作⊙C，抛物线

y?ax2?bx?c过A、C、O三点．

(1) 求点C的坐标和抛物线的解析式； (2) 过点B作直线与x轴交于点D，且

OB2=OA·OD，求证：DB是⊙C的切线； (3) 抛物线上是否存在一点P， 使以P、O、C、

A为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

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yx【解答】

26．（本题满分10分）

解：（1）A（6，0），B（0，6） ????????1分

o

连结OC,由于∠AOB=90，C为AB的中点，则OC?1AB，

2所以点O在⊙C上（没有说明不扣分）．

过C点作CE⊥OA，垂足为E，则E为OA中点,故点C的横坐标为3． 又点C在直线y=－x+6上，故C（3，3） ????????2分 抛物线过点O，所以c=0, 又抛物线过点A、C，所以所以抛物线解析式为y???3?9a?3b10?36a?6b，解得：a??,b?2

312x?2x ???????3分 3（2）OA=OB=6代入OB2=OA·OD，得OD=6 ????????4分

o

所以OD=OB=OA，∠DBA=90． ????????5分 又点B在圆上，故DB为⊙C的切线 ????????6分 （通过证相似三角形得出亦可）

（3）假设存在点P满足题意．因C为AB中点,O在圆上,故∠OCA=90,

要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，

则 ∠CAP=90或 ∠COP=90, ????????7分 若∠CAP=90,则OC∥AP，因OC的方程为y=x,设AP方程为y=x+b． 又AP过点A（6，0），则b=－6, ????????8分 方程y=x－6与

x2??3x1?612y??x?2x联立解得：y1?0，y2??9，

3o

o

o

o

?? 故点P1坐标为（－3，－9） ????????9分 若∠COP=90,则OP∥AC，同理可求得点P2（9，－9） (用抛物线的对称性求出亦可)

故存在点P1坐标为（－3，－9）和P2（9，－9）满足题意．??10分 90、（2010年湖南省湘西州）25．(20分)如图，已知抛物线y＝ax2－4x＋c经过点A(0，－6)和B(3，－9)．

(1)求出抛物线的解析式；

(2)写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；

(3)点P(m，m)与点Q均在抛物线上(其中m＞0)，且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标；

(4)在满足(3)的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小．

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o

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