2010年中考数学压轴题(四)及解答(3)

【解答】

2??a?0?4?0?c??6225．解：(1)依题意有? ??a?3?4?3?c??9

?c??6即?

9a?12?c??9??a?1 ??c??6?

……2分

……4分

∴抛物线的解析式为：y?x2?4x?6……5分

(2)把y?x2?4x?6配方得，y?(x?2)2?10 ∴对称轴方程为x?2 顶点坐标(2,?10) (3)由点P(m,m)在抛物线上

有m?m2?4m?6 即m2?5m?6?0

……7分 ……10分 ……12分

∴m1?6 或m2??1(舍去)

……13分

∴P(6,6)

∵点P、Q均在抛物线上，且关于对称轴x?2对称 ∴Q(?2,6) ……15分 (4)连接AQ,AP，直线AP与对称轴x?2相交于点M 由于P,Q两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点M，能够使 △QAM的周长最小． ……17分 设直线PA的解析式y?kx?b

得

?b??6∴有?

k?6?b?6??k?2∴?

b??6?

……18分

∴直线PA的解析式为：y?2x?6

设点M(2,n)

则有n?2?2?6??2 ……19分 此时点M(2,?2)能够使得△AMQ的周长最小． ……20分

91、（2010年湖南省益阳市）19.（本题满分12分） 我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之

间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等. ．．．．

一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M'、N'、N．小明在探究线段MM'与N'N 的数量关系时，从点M'、N'向对边作垂线段M'E、N'F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题： ⑴当直线l与方形环的对边相交时（如图8?1），直线l分别交AD、A?D?、B?C?、BC于M、M'、N'、N，小明发现MM'与N'N相等，请你帮他说明理由； ⑵当直线l与方形环的邻边相交时（如图8?2），l分别交AD、A?D?、D'C?、DC于M、M'、N'、N，l与DC的夹角为?，你认为MM'与N'N还相等吗？若 相等，说明理由；若

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不相等，求出

DD'MM'的值（用含?的三角函数表示）. N'NCC'N'NFDFD'M'?(NlCN'lC'EEMM'A'B'MBAA'B'BA图8?1图8?2【解答】

19．⑴解: 在方形环中，

E?AD,N'F?BC,AD∥BC ∵M? ∴M?E?N'F,?M?EM??N'FN?90,?EMM???N'NF ∴△MM'E≌△NN'F

∴MM??N'N ???????????5分

?M?? ⑵解法一：∵?NFN???MEM??90?,?FNN???EM?EM ???????????8分 ∴?NFN?∽?M?MM?M?E? N'NNFE?N?F ∵M?MM'N?Fsin???tan? （或 ∴）???????????10分 N'NNFcos? ∴

?①当??45时，tan?=1,则MM??NN?

? ②当??45时，MM??NN?

则

MM?sin??tan?（或） ???????????12分

cos?NN?解法二：在方形环中，

?D?90?

E?AD,N'F?CD 又∵M?E ∴M?E∥DC,N'F?M?E??N'NF?? ∴?MM?E中， 在Rt?NN?F与Rt?MM?N'FM?E,cos?? NN?MM?sin?N'FMM?MM???? tan??

???cos?NNMENNMM?sin??tan?（或 即 ） ???????????10分

cos?NN? sin??? ①当??45时，MM??NN?

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? ②当??45时，MM??NN?

则

MM?sin??tan?（或） ???????????12分

cos?NN?

92、（2010年湖南省益阳市）20.（本题满分12分）如图9，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的

坐标分别为A（－2，0），B（6，0），C（0，3）. (1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

(2)过Ｃ点作CD平行于x轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标； (3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC、ＰD，判断四边形CEDP的形状，并说明理由. y

P

D C

E

1 ABo ?11x

图9【解答】

20．解：⑴ 由于抛物线经过点C(0,3)，可设抛物线的解析式为y?ax2?bx?3(a?0)，则

?4a?2b?3?0， ??36a?6b?3?01??a?? 解得?4

??b?1∴抛物线的解析式为y??12x?x?3 ???????????4分 4⑵ D的坐标为D(4,3) ???????????5分

1x?1 21直线BC的解析式为y??x?3

2直线AD的解析式为y?1?y?x?1??2 由?

1?y??x?3?2? 求得交点E的坐标为(2,2) ???????????8分 ⑶ 连结PE交CD于F，P的坐标为(2,4)

又∵

E(2,2)，C(0,3),D(4,3)

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∴PF?EF?1,CF?FD?2，且CD?PE

∴四边形CEDP是菱形 ???????????12分

?C?90?，93、（2010年湖南省株洲市）22．（本题满分8分）如图，直角?ABC中，sinB?AB?25，点P为边BC上一动点，PD∥AB，PD交AC于点D，连结AP． （1）求AC、BC的长；

（2）设PC的长为x，?ADP的面积为y．当x为何值时，y最大，并求出最大值．

5，5ADBPC【解答】

22．（1）在Rt?ABC中，sinB?AC55，AB?25， 得，∴AC?2，根据勾股定理得：?AB55BC?4． ?? 3分

DCAC1?? （2）∵PD∥AB，∴?ABC∽?DPC，∴

PCBC211设PC?x，则DC?x，AD?2?x

221111212∴S?ADP?AD?PC?(2?x)?x??x?x??(x?2)?1

22244∴当x?2时，y的最大值是1． ??? 8分

94、（2010年湖南省株洲市）23．（本题满分10分）在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A，其顶点为B．孔明同学用一把宽为3cm带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量： ① 量得OA?3cm；

② 把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5． 请完成下列问题：

（1）写出抛物线的对称轴； （2）求抛物线的解析式；

（3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点A的右边（如图2），直尺的两边交x轴于点H、第 14 页 共 35 页

G，交抛物线于点E、F．求证：S梯形EFGH?(EF2?9)．

16图1

· B 图2

【解答】

3 ??? 2分 23939927y??a，a，（2）设抛物线的解析式为：y?ax(x?3)，当x?时，即B(,?a)；当x?时，y?2424249272791a)，依题意得：a?(?a)?4.5，解得：a?． 即C(,24442123∴抛物线的解析式为：y?x?x． ??? 6分

22123123（3）方法一：过点E作ED?FG，垂足为D，设E(m,m?m)， F(n,n?n)，得：

22221313131DF?(n2?n)?(m2?m)?(n2?m2)?(n?m)?n(?m)(n?m?3) ①

2222222131313EH?FG?(n2?n)?(m2?m)?(n2?m2)?(n?m) ②

2222222又n?m?3，得n?m?3，分别代入①、②得：DF?3m，EH?FG?m

222222∴EF?DE?DF?3?(3m)?9?9m

113222得：(EF?9)??9m?m[来源:学*科*网]

662132又S梯形EFGH??3?(EH?FG)?m

2223．（1）x?∴S梯形EFGH?1(EF2?9) ???10分 6方法二：过点E作ED?FG，垂足为D，设E(x,12313x?x)，则F(x?3,x2?x)，得： 2222第 15 页 共 35 页

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