2010年中考数学压轴题(四)及解答

2010年中考数学压轴题（四）及解答

81、（2010年湖南省长沙市）25．（本题满分10分）已知：二次函数y?ax2?bx?2的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b），其中a?b?0且a、b为实数． （1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）； （2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；

（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1－x2 |的范围．

【解答】

25．解：（1）∵一次函数过原点∴设一次函数的解析式为y=kx

∵一次函数过（1，－b） ∴y=－bx ???????????3分 （2）∵y=ax2+bx－2过（1，0）即a+b=2 ??????????4分

?y??bx由?得 ??????????????5分 2?y?(2?b)x?bx?2ax2?2(2?a)x?2?0① ∵△＝4(2?a)2?8a?4(a?1)2?12?0

∴方程①有两个不相等的实数根∴方程组有两组不同的解

∴两函数有两个不同的交点． ???????????????6分 （3）∵两交点的横坐标x1、x2分别是方程①的解 ∴x1?x2??22(a?2)2a?4 x1x2? ?aaa24a2?8a?164∴x1?x2?(x1?x2)?4x1x2＝?(?1)2?3 2aa或由求根公式得出 ?????????????????????8分

∵a>b>0，a+b=2 ∴2>a>1

令函数y?(?1)?3 ∵在1

∴4?(?1)?3?12 ?????????????????9分

4a24a2∴2?(?1)?3?23 ∴2?x1?x2?23 ??????10分

82、（2010年湖南省长沙市）26．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA?82 cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．

y （1）用t的式子表示△OPQ的面积S；

（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这 B C 个定值；

（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线

1y?x2?bx?c经过B、P两点，过线段BP上一动点MQ 4作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大

O 值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之A x P 比．

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第26题图

4a2【解答】

26．解：(1) ∵CQ＝t，OP=2t，CO=8 ∴OQ=8－t

∴S△OPQ＝

122(8?t)?2t??t?42t（0＜t＜8） ???????3分 2211?82t??8?(82?2t)＝322 ???? 5分 22(2) ∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ

＝8?82?∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于322 ????6分

（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时, △QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB

＝90°

又∵BQ与AO不平行 ∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP ??????7分 ∴8?t2t解得：t＝4 ?882?2t经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度） 此时P（42，0）

∵B（82，8）且抛物线y?∴抛物线是y?12x?bx?c经过B、P两点， 412x?22x?8，直线BP是：y?2x?8 ???????8分 412设M（m, 2m?8）、N(m，m?22m?8)

4∵M在BP上运动 ∴42?m?82 ∵y1?12x?22x?8与y2?2x?8交于P、B两点且抛物线的顶点是P 4∴当42?m?82时，y1?y2 ????????????9分 ∴MN?y1?y2＝?1(m?62)2?2 ∴当m?62时，MN有最大值是2 4∴设MN与BQ交于H 点则M(62,4)、H(62,7) ∴S△BHM＝

1?3?22＝32 2∴S△BHM ：S五边形QOPMH＝32:(322?32)＝3:29 ∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29．???10分

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83、（2010年湖南省常德市）25．（本题满分10分）如图9，已知抛物线y?（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点. (1)求此抛物线的解析式；

(2)设E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当?CEF的面积是?BEF面积的2倍时，求E点的坐标；

(3)若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标.

12x?bx?c与x轴交于点A2y A O B x

C 图9

【解答】

25．解：（1）由二次函数y?点可得：

12x?bx?c与x轴交于A(?4,0)、B(1,0)两2

?123(?4)?4b?c?0，???b?，?2 ? 解得： ?2

1???12?b?c?0．?c??2．??213 故所求二次函数的解析式为y?x2?x?2． ………………3分

22BF1BF1（2）∵S△CEF=2 S△BEF, ∴ ………………4分 ?,?.

CF2BC3 ∵EF//AC, ∴?BEF??BAC, ?BFE??BCA, ∴△BEF～△BAC, ………………5分

BEBF15∴ ………………6分 ??,得BE?, BABC332故E点的坐标为(?,0). ………………7分

3

（3）解法一：由抛物线与y轴的交点为C，则C点的坐标为（0，－2）．若设直线AC的解析式为1???2?0?b,?k??,y?kx?b，则有? 解得：?2

0??4k?b．???b??2．故直线AC的解析式为y?－x?2．

12 ………………8分

3?1?若设P点的坐标为?a,a2?a?2?，又Q点是过点P所作y轴的平行线与直线AC的交点，则Q2?2?121311 PQ?[?(a2?a?2)]?(?a?2)＝?a2?2a

2222点的坐标为（a,?a?2)．则有：

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12?a?2??2 2即当a??2时，线段PQ取大值，此时P点的坐标为（－2，－3）………10分

解法二：延长PQ交x轴于D点，则PD?AB．要使线段PQ最长，则只须△APC的面积取大

＝?值时即可. 设P点坐标为（x0,y0)，则有:

S?APC?S?ADP?S梯形DPCO?S?ACO ＝

………………8分

111AD?PD?(PD?OC)?OD?OA?OC 222111 ＝?x0y0?2y0???y0?2????x0???4?2

222 ＝?2y0?x0?4

3?1?＝?2?x20?x0?2??x0?4

2?2?＝?x20?4x0 ＝－x20?2?4

即x0??2时，△APC的面积取大值，此时线段PQ最长，则P点坐标 为（－2，－3） ……………10分

84、（2010年湖南省常德市）26．（本题满分10分）如图10，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.

（1）当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

（2）当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M. ①求证：AG⊥CH;

②当AD=4，DG=2时，求CH的长。

B

??2G G F D E

A F E D

A

H F M A D

E 图110 【解答】

C

B 图11

C

B

C

图12

G A F E

26．解：（1）AG?CE成立．

?四边形ABCD、四边形DEFG是正方形， ∴GD?DE,AD?DC, ……………1分

∠GDE?∠ADC?90?.

∴∠GDA?90°-∠ADE?∠EDC. ……………2分

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D

B 图11

C

∴△AGD?△CED. ∴AG?CE. ……………3分 （2）①类似（1）可得△AGD?△CED， ∴∠1＝∠2 …………………4分 又∵∠HMA＝∠DMC. ∴∠AHM?∠ADC＝90?. 即AG?CH. …………………5分 ② 解法一: 过G作GP?AD于P, 由题意有GP?PD?2?sin45??1, ∴AP?3，则tan∠1＝

H G A 1 F M P D E 2 B C GP1?. ………6分 AP3图12

DM1 而∠1＝∠2，∴tan∠2＝＝tan∠1＝.

DC348 ∴DM? ，即AM?AD?DM?. …………………7分

3324104?? 在Rt?DMC中，CM?CD?DM＝4???＝, 3?3?222…………………8分

AHAM而?AMH∽?CMD,∴, 即AH?3, ?DCCM441038410. 5再连接AC，显然有AC?42,

∴AH? ∴CH?AC?AH?22 …………………9分

?42?2?410?810. ?????5?5??2 所求CH的长为

810. 5解法二：研究四边形ACDG的面积 过G作GP?AD于P,

由题意有GP?PD?2?sin45O?1, ∴AP?3,AG ?10. ………………8分 而以CD为底边的三角形CDG的高=PD=1, S?AGD?S?ACD?S四边形ACDG?S?ACG?S?CGD, ∴4×1+4×4=10×CH+4 ×1.

∴CH=810.

5

…………………10分

H G A 1 F M P D E 2 C

图12

B ………………10分

注：本题算法较多，请参照此标准给分.

85、（2010年湖南省郴州市）25．（本题满分10分） 如图，已知

??ABC中，?A?90，AB?6,AC?8，D是AB上一动点，DE∥BC，交AC于E，将四边形BDEC沿DE向上翻折，得四边形B?DEC?，B?C?与AB、AC分别交于点M、N. （1）证明：?ADE ∽△ABC；

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AB'MBD第25题

NEC'C

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