2012年高考数学专题复习 椭圆(19)

2ab = 4 5, 【解】 (1)由题意得 ab 又 a > b > 0 ,解得： a 2 = 5 ,b 2 = 4 . 2 5 = . 2 2 3 a +b

x2 y 2 因此所求椭圆的标准方程为： + = 1. 5 4(2)①假设 AB 所在直线的斜率存在且不为零， ① 设 AB 所在直线方程为 y = kx (k ≠ 0) ,且设 A( x A ,y A ) .2 x2 y2 + = 1, 得： x 2 = 20 , y 2 = 20k , 解方程组 5 A A 4 4 + 5k 2 4 + 5k 2 y = kx,

20 20k 2 20(1 + k 2 ) 所以 OA = x + y = + = . 4 + 5k 2 4 + 5k 2 4 + 5k 22 2 A 2 A

设 M ( x ,y ) ,由题意知： MO = λ OA (λ ≠ 0) ,所以 MO = λ 2 OA ,2 22 即 x 2 + y 2 = λ 2 20(1 + k2 ) , 4 + 5k

因为 l 是 AB 的垂直平分线，所以直线 l 的方程为 y =

1 x x ,即 k = , k y

因此

x + y = λ2 2

2

x2 20 1 + 2 2 2 y + y 2 ) , 又)x 2 20( x = λ x2 4 y2 + 5x2 4+5 2 y2

+ y2 ≠ 0 ,

x2 y 2 所以 5 x + 4 y = 20λ ,故 + = λ2 . 4 52 2

当 k = 0 或不存在时，上式仍然成立.

x2 y 2 综上所述， M 的轨迹方程为 + = λ 2 (λ ≠ 0) . 4 52 ② 当 k 存在且 k ≠ 0 时，由(1)得： x A =

20 , 2 20k 2 , yA = 4 + 5k 2 4 + 5k 2= 20 , 5 + 4k 2

x2 + 由 5 y =

y2 = 1, 2 解得： xM 4 1 x, k

20k 2 2 = , yM 2 5 + 4k

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