2012年高考数学专题复习 椭圆(14)

(2) (3)得：

( x1 + x2 )( x1 x2 ) + ( y1 + y2 )( y1 y2 ) = 0 ,a2 b2

y1 y2 b 2 x1 + x2 b 2 x1 + x2 即 = 2 。 所以 k AB = 2 。 x1 x2 a y1 + y2 a y1 + y2同理可得： k PA

b 2 x0 + x1 b 2 x0 + x2 = 2 , k PB = 2 。 a y0 + y1 a y0 + y 2x0 + x1 x0 + x2 + =0 y0 + y1 y0 + y2

由已知： k PA + k PB = 0 ,即

x1 y2 + x2 y1 + x0 ( y1 + y2 ) + y0 ( x1 + x2 ) + 2 x0 y0 = 0 LL LL (4)另一方面， k PA =

y0 y1 y y2 y y1 y0 y2 , k PB = 0 ,所以 0 + =0 x0 x1 x0 x2 x0

x1 x0 x2 x x1 + x2 = 0 。 y1 + y2 y0

x1 y2 + x2 y1 x0 ( y1 + y2 ) y0 ( x1 + x2 ) + 2 x0 y0 = 0 LL LL (5)由(4) (5)可得： x0 ( y1 + y2 ) + y0 ( x1 + x2 ) = 0 所以 k AB

b 2 x0 = 2 a y0

2 b x0 = a 2 y 为定值。即直线 AB 的斜率为定值 0

【法二：联立方程法】设 P ( x0 , y0 ) , A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 。 设直线 PA: y y0 = k1 ( x x0 ) ,直线 PB: y y0 = k2 ( x x0 ) 。

y y0 = k1 ( x x0 ) 联立 x 2 y 2 ,消去 Y,得： 2 + 2 =1 b a(b 2 + a 2 k12 ) x 2a 2 k1 (k1 x0 y0 ) x + a 2 (k1 x0 y0 ) 2 a 2b 2 = 0 , a 2 (k1 x0 y0 ) 2 a 2 b 2 由韦达定理可得： x0 x1 = LL LL LL LL LL ① b 2 + a 2 k12 a 2 (k2 x0 y0 ) 2 a 2b 2 同理可得： x0 x2 = 。 b 2 + a 2 k2 2 a 2 ( k1 x0 y0 )2 a 2b 2 LL ② 由已知：k1 + k2 = 0 ,即 k2 = k1 ,于是 x0 x2 = b 2 + a 2 k12 4a 2 k1 x0 y0 4a 2 k1 y0 ① ②得： x0 ( x1 x2 ) = 2 , 即 x1 x2 = 2 。 b + a 2 k12 b + a 2 k12

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