2012年高考数学专题复习 椭圆(10)

(2)

①当 e 取得最小值 ①

2 时， P 在短轴顶点， 2 c 2 = , a2 = b2 + c2 , a 2

所以 S PF1F2 = bc = 16 , 又

x2 y 2 =1 故求得： a = 4 2, b = 4, c = 4 。 所以椭圆方程为： + 32 16

【法一： 点差法】 A x1 , y1 , B x2 , y2 , AB 的中点为 M x0 , y0 , 设 设 ②

(

)

(

)

(

)

x12 y12 =1 + ( x + x )( x x ) ( y + y2 )( y1 y2 ) = 0 32 16 1 2 1 2 + 1 则 2 2 32 16 x2 + y2 = 1 32 16 y1 y2 x +x = 1 2 x1 x2 2 ( y1 + y2 )即 k =

x0 2 y0

LL LLLL

①

由已知 AB 的垂直平分线方程为： y =

1 x 3 k 1 x0 3 k3LL ②

易知点 M x0 , y0 在该直线上，所以 y0 =

(

)

x0 = 2 3k 由①,②可求得： y0 = 3 由已知：点 M 在椭圆内部，

即 M 2 3k ,

(

)

所以

(

2 3k 32

) +( )2

2

3

16

<1

78 78 <k< 6 6

【法二：联立方程法】设 A x1 , y1 , B x2 , y2 , 设直线 AB 的方程为 y = kx + b , AB 的垂直平分线方程为： y =

(

)

(

)

1 x 3 k

y = kx + b 消 y 去得： 1 + 2k 2 x 2 + 4kbx + 2b 2 32 = 0 联立 x 2 y 2 =1 + 32 16

(

)

则有 = 16k 2 b 2 4 1 + 2k 2

(

)( 2b

2

32 ) > 0

即 b 2 < 16 1 + 2k 2

(

)

LL ①

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