新课标2012年高考理科数学中档解答题强化训练题（含详细答案）(8)

所以2(f(x)?2ex)?a22(2g(x)?e)?x?alnx 26e即a（x?lnx)?x2?2x?(1)

1当x?[,1)时，lnx?0，?x?lnx?0

e当x??1,e?时，lnx?1?x，且等号不能同时成立，?x?lnx?0

x2?2x?1?所以,则由(1)式可得a?在?,e?上恒成立……………………7分

x?lnx?e?x2?2x?1?设F(x)?,x??,e?

x?lnx?e?又F?(x)?(x?1)(x?2?2lnx）……………………9分 2(x?lnx)令F?(x)?0得：x?1 又lnx?1,?x?2?2lnx?0

?1?所以，当x??,1?时，F?(x)?0；当x??1,e?时，F?(x)?0；

?e?1所以，F(x)在[,1)上为减函数，F(x)在?1,e?上为增函数…………11分

ee2?2e11?2e又F()? ?0?F(e)?ee(e?1)e?1故F(x)maxe2?2e?F(e)?

e?1?e2?2e?,???所以实数a的取值范围是?……………12分 ??e?1?新课标2012年高考理科数学中档解答题强化训练（含答案）（十）

1在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA?（Ⅰ）求sin2（Ⅱ）若a?CC1于D．

1. 3B?C?cos2A的值； 23，求bc的最大值.

2如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交棱

（Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1；

（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；

3设{an}为等比数列，Tn?na1?(n?1)a2?...?2an?1?an，已知T1?1,T2?4 （Ⅰ）求数列?an?的首项和公比； （Ⅱ）求数列?Tn?的通项公式。 4.已知a?R，函数f(x)?然对数的底数)．

（I）求f(x)在区间?0,e?上的最小值；

（II）是否存在实数x0??0,e?，使曲线y?g(x)在点x?x0处的切线与ｙ轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．

a?lnx?1,g(x)?(lnx?1)ex?x(其中ｅ为自x新课标高考中档解答题强化训练答案 （十）

21解: (Ⅰ)sinB?C?cos2A 21[1?cos(B?C)]?(2cos2A?1) 2 =

12 =(1?cosA)?(2cosA?1)

2 =

112(1?)?(?1) 2391?[

=

9b2?c2?a21?cosA?(Ⅱ) ∵

2bc322222bc?b?c?a?2bc?a∴, 3又∵a?3

9∴bc?.

4

当且仅当 b=c=3时,bc=9,故924bc的最大值是4.

2. （Ⅰ）连结AB1与BA1交于点O，连结OD，

∵C1D∥平面AA1，A1C1∥AP，∴AD=PD，又AO=B1O， ∴OD∥PB1，又OD?面BDA1，PB1?面BDA1， ∴PB1∥平面BDA1．

（Ⅱ）过A作AE⊥DA1于点E，连结BE．∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC=A， ∴BA⊥平面AA1C1C．由三垂线定理可知BE⊥DA1． ∴∠BEA为二面角A－A1D－B的平面角．

在Rt△A1C1D中，A1D?(12)2?12?52，

1又S?AA2?1?1?12?52?AEAE?51D?2，∴5．

25在Rt△BAE中，BE?(22355)?1?5，∴cos?AHB?AHBH?23． 故二面角A－AB的平面角的余弦值为21D－3． 解法二：

如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－B1C1A，则

A0)1,0,0(B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，P(0,2,0)．

（Ⅰ）在△PAA11中有C1D?AA11????(1,0,1)?????2，即D(0,1,????2)．

∴A1B?，A1D?(0,1,x)，B1P?(?1,2,0)．

设平面BA1D的一个法向量为n1?(a,b,c?n????)，

1?A1B?a?c?0,则??n???????1，则n1?(1,1?1令c?1?A1D?b?2c?0.2,?1)． ∵n1?????B1P?1?(?1)?12?2?(?1)?0?0， ∴PB1∥平面BA1D，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA1D的一个法向量n11?(1,2,?1)． 又n2?(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量．

cos?nn1?n212∴

1,n2??|nn??1|?|2|1?33．

2故二面角A－A21D－B的平面角的余弦值为3． 3 解：设等比数列?an?的公比为q，则

，

T1?a1,T2?2a1?a2?a1(2?q).

∵

T1?1,T2?4,?a1?1,q?2.

解法一：由（I）知

(Ⅱ)

a1?1,q?2,故

an?a1qn?1?2n?1,因此

Tn?n?1?(n?1)?2?????2?2n?2?1?2n?1,

?Tn?2Tn?Tn

?n?2?(n?1)?22?????2?2n?1?1?2n?[n?1?(n?1)?2?????2?2n?2?1?2n?1]

??n?2?22?????2n?1?2n

2?2?2n??n?1?2解法二：设Sn

??n?2n?1?2??(n?2)?2n?1.

?a1?a2?????an.

n?1a?2. 由（I）n?Sn?1?2?????2n?1?2n?1.

?Tn?na1?(n?1)a2????2an?1 ??an

?a1?(a1?a2)?????(a1?a2?????an?1?an)

S1?S2?????Sn

2 ?(2?1)?(2?1)?????(2n?1)

n

?(2?2?????2)?n

22?2?2nn?1??n?2?2?n.

1?2a1x?aa??lnx?1, ?f(x)??2??2. 4解（Ⅰ）?f(x)?xxxx令f?(x)?0,得x?a，

若ａ?０，则f?(x)?0，函数f?x?在区间?0,e?上单调递增，此时函数f?x?无最小值；

若0?a?e,当x?函数

?0,a?时，f??x??0，函数f?x?在区间x??0,a?上单调递减；当x??a,e?时f?(x)?0，

af?x?在区间?0,e?上单调递减，所以当x?e时，函数f?x?取得最小值．

ef?x?在区间?0,e?上无最小值；

f?x?在区间x??a,e?上单调递增，所以当x?a时，函数f?x?取得最小值lna.

若a?e,则f?(x)?0,函数

ａ?０，综上所述，当函数

当0?a?e,函数当af?x?在区间?0,e?上的最小值为lna;

e?e,函数f?x?在区间?0,e?上的最小值为a．

x?g(x)?(lnx?1)e?x,x??0,e?． (２）

?g?(x)?(lnx?1)?ex?(lnx?1)(ex)??1

1x?(?lnx?1)e?1．

x1f(x)??lnx?1，此时函数f?x?在区间?0,e?上的最小值为ln1?0，即

由(１）可知，当ａ=1时，

x1?lnx?1?0． x1x??0,e?,e?0,?lnx0?1?0， 当0x0x0

?g?(x0)1?(?lnx?1)ex?1?1?0．

x曲线

y?g(x)在点x?x0处的切线与ｙ轴垂直等价于g?(x0)?0有实数解，而g?(x0)?0,即g?(x0)?0无实数解． 故不存在

x0??0,e?，使曲线y?g(x)在点x?x0处的切线与ｙ轴垂直．

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