新课标2012年高考理科数学中档解答题强化训练题（含详细答案）(2)

当a?0时，f(x)在x?1111处取得最大值为ln?1,因此ln?1?0,即a?时， aaaef(x)?lnx?ax?0在(0,??)上恒成立，即lnx?ax在(0,??)上恒成立。

所以当lnx?ax在(0,??)上恒成立时，a的取值范围为(,??)……………………10分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知当a?1时，f(x)?lnx?x的最大值为?1 所以lnx?x?1（当且仅当x?1时等号成立），令x?1?1e1?1(n?N+)，则得 n111ln(1?)?,即nln(1?)?1,…………………………………………………………12分

nnn1从而得ln(1?)n?1?lne

n1n由函数y?lnx的单调性得(1?)?e(n?N+)………………………………………14分

n

新课标2012年高考理科数学中档解答题强化训练（含答案）（三）

1（本小题满分12分）在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别为a、b、c，直线

直线l2:(b?c?bc)x?ay?4?0互相平行(其中a ≠4) （I）求角A的值， （II）若B??22与

??2??2A?C,?cos2B的取值范围 ?B,求sin232??2．（本小题满分12分）设数列｛an｝的前n项和为Sn，a1?1,Sn?nan?2n(n?1). （I）求数列数列｛an｝的通项公式an， （II）设数列{111}的前n项和为Tn，求证?Tn?. anan?1543．（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA ?平面ABCD, AD//BC//FE， AB?AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=

1AD 2 （I）求证：BF⊥DM

（Ⅱ）求二面角A-CD-E的余弦值。

4设函数， f（x）=x2－alnx，g（x）=x2－x+m，令F（x）=f（x）－g（x）

（Ⅰ）当m=0，x∈（1，+∞）时，试求实数a的取值范围使得F（x）的图象恒在x轴

上方

（Ⅱ）当a=2时，若函数F（x）在[1，3]上恰好有两个不同零点，求实数m的取值范围

（Ⅲ）是否存在实数a的值，使函数f（x）和函数g（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出a的值，

若不存在，说明理由。

新课标高考中档解答题强化训练答案 （三）

1．解：（I）l2221//l2,得a?b?c?bc(a?4)

即b2?c2?a2?bc

?cosA?b2?c2?a2bc12bc?2bc?2

?A?(0,?),?A??3.

（II）sin2A?C2?cos2B?cos2B2?2cos2B?1 ?cosB?12?2cos2B?1?2cos2B?12cosB?12

?2(cosB?1178)2?32

?B????2???2,3??,

?cosB???1???2,0??

?2(cosB?1)217?171?8?32????32,?4??

即sin2A?C?171?2?cos2B的取值范围为???32,?4?? 2．解：（I）由Sn?nan?2n(n?1)

得an?1?Sn?1?Sn?(n?1)an?1?nan?4n 即an?1?an?4

?数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列 ?an?4n?3.

（II）T1n?a???1 1a2anan?1?1111?5?5?9?9?13???1(4n?3)?(4n?1) ?14(1?11111115?5?9?9?13???4n?3?4n?1)

…………2分

…………5分

…………8分

…………9分

…………11分

…………12分

…………4分

…………6分

?111(1?)? 44n?14 …………10分

又易知Tn单调递增，

1, 511得?Tn?. 54故Tn?T1? …………12分

3．解：设P为AD的中点， 连结EP，PC，

则由已知EF//AP//BC

????∴EP=PC，FA//EP，EC//BF，AB//PC 又FA⊥平面ABCD， ∴EP⊥平面ABCD PC、AD?平面ABCD 故EP⊥PC，EP⊥AD

设FA=a，则EP=PC=PD=a

…………2分

?ED?CD?2a

…………5分

∵M为EC的中点， ∴DM⊥CE ∵BF//EC ∴DM⊥BF。 （II）解：取CD的中点Q，连结PQ，EQ

由（I）知PC=PD，CE=DE ∴PQ⊥CD，EQ⊥CD

∴∠EQP为二面角A—CD—E的平面角 由（I）可得，在等边?ECD中

…………6分

…………10分

EQ?6a 22a 2PO3? EQ3在等腰Rt?CPD中,PQ?在Rt?EPQ中,cos?EQP?故二面角A—CD—E的余弦值为

3. 3 …………12分

4．解：（I）当m=0时，函数F（x）的图象恒在x轴上方等价于

F(x)?0在(1,??)上恒成立

由m=0，F(x)?0可得?alnx??x

?x?(1,??)

x lnxx记?(x)?,则F(x)?0在(1,??)恒成立

lnx则a?等价于a??(x)min(x?(1,??)) 又?'(x)?

lnx?1 2lnx?当x?(1,e)时;?'(x)?0;当x?(e,??)时,?'(x)?0

故?(x)在x?e处取得极小值， 也是最小值，即?(x)min??(e)?e

?a?e

故a的取值范围是(??,e).

…………5分

（II）函数F(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程

x?2lnx?m,

在[1，3]上恰有两个相异实根。 令h(x)?x?2lnx,则h'(x)?1?2x?2 ?xx当x??1,2?时,h'(x)?0,当x??2,3?时,h'(x)?0 故在[1，3]上h(x)min?h(2)?2?ln2 又h(1)?1,h(3)?3?2ln3

…………8分

?h(1)?h(3)

?只需h(2)?m?h(3)

故m的取值范围是?2?2ln2,3?2ln3?. （III）存在a?…………9分

1, 2使得函数f(x)和函数g(x)在公共定义域上具有相同的单调性。…………10分 因为f(x)和g(x)的公共定义域为(0,??)

由g(x)?x?x?m知,

21g(x)在(0,??)上单调递增区间是(,??)，

21单调递减区间是(0,)

2a2x2?a由f(x)?x?alnx,f'(x)?2x??

xx2…………11分

若a?0,则f(x)'?0，

函数f(x)在(0,??)上单调递增，不合题意； 若a?0,由f(x)'?0可得2x?a?0,

2解得x?a 2由f'(x)?0可得0?x?a 2a,??)， 2故a?0时,函数f（x）的单调递增区间为(单调递减区间为(0,a) 2故只需

a11?,解之得a?. 222新课标2012年高考理科数学中档解答题强化训练（含答案）（四）

1/已知函数f(x)?sin(x?a)?3cos(x?a),其中0?a??,且对于任意实数x,f(x)?f(?x)恒成立。 （1）求a的值；

（2）求函数f(x)的最大值和单调递增区间。

2ttp如图，在三棱锥P—ABC中，已知PC⊥平面ABC，点C在平面PBA内的射影D在直线PB上。

（1）求证：AB⊥平面PBC；

（2）设AB=BC，直线PA与平面ABC所成的角为45?，求异面直线AP与BC所成的角； （3）在（2）的条件下，求二面角C—PA—B的余弦值。

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