新课标2012年高考理科数学中档解答题强化训练题（含详细答案）(3)

3.已知等比数列{an}中，a2,a3,a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a1? （1）求数列{an}的通项公式；

（2）已知数列{bn}满足bn?log1an,Sn是数列{bn}的前n项和，求证：当n?5时,anSn?1.

221,公比q?1. 24已知函数f(x)??x?ax?4(a?R),f'(x)是f(x)的导函数。

（1）当a=2时，对于任意的m?[?1,1],n?[?1,1],求f(m)?f'(n)的最小值； （2）若存在x0?(0,??)，使f(x0)?0,求a的取值范围。

32新课标高考中档解答题强化训练答案 （四）

1．解：（1）由已知得f(x)?f(?x).

即sin(x?a)?3cos(x?a)?sin(?x?a)?3cos(?x?a).

xcosa??23sinxsina,(coas?3sina)sinx?a. 2sin所以cosa?3sina?0,于是tana??又因为0?a??,所以a? （1）f(x)?sin(x?3. 3

…………4分 …………5分

5? 65?5?)?3cos(x?) 665?5?5?5? ?sinxcos?cosxsin?3cosxcos?3sinxsin6666 …………8分 ??cosx.

…………10分 …………12分

由此可知，函数f(x)的最大值为1。

单调递增区间为：[2k?,2k???](k?Z). 2．解：（1）由于PC⊥平面ABC， AB?平面ABC,所以AB?PC,

由于点C在平面PBA内的射影在直线PB上，

所以CD⊥平面PAB。

又因为AB?平面PBA,所以AB?CD. 因此AB⊥平面PCB。 （2）因为PC⊥平面ABC，

…………3分

所以?PAC为直线PC与平面ABC所成的角， 于是?PAC?45?，设AB=BC=1， 则PC=AC=2

以B为原点建立如图所示空间直角坐标系，

则B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），P(1,0,2)

AP?(1,?1,2),BC?(1,0,0),BA?(0,1,0)…………5分

因为cos?AP,BC??AP?BC|AP|?|BC|?12, 所以异面直线AP与BC所成的角为60? …………7分 （3）取AC的中点E，连结BE，则BE?(1,122,0). 因为AB=BC，所以BE⊥AC。 又因为平面PCA⊥平面ABC， 所以BE⊥平面PAC。

因此，BE是平面PAC的一个法向量。 设平面PAB的一个法向量为n?(x,y,z),

则由???n?BA,得?y?0,?,?

?n?AP?x?y?2z?0 取z=1，得??y?0,?x??2

因此，n?(?2,0,1)

?2 于是cos(n,BE)?n?BE2|n|?|BE|?2?33. 2?3 又因为二面角C—PA—B为锐角。 故所求二面角的余弦值为

33. 3．解：（1）由已知得a2?a3?2(a3?a4). 从而得2q2?3q?1?0 解得q?12或q?1（舍去）

…………8分

…………10分

…………12分

…………4分

所以a4?()n.

12 …………6分

（2）由于bn?2log1()?2n?Sn?n(n?1),anSn?2n12nn(n?1). n2 因此所证不等式等价于：2?n(n?1)(n?5.)

①当n=5时，因为左边=32，右边=30，所以不等式成立； ②假设n?k(k?5)时不等式成立，即2?k(k?1), 两边同乘以2得2k?1k?(k?1)(k?2).

这说明当n=k+1时也不等式成立。 由①②知，当n?5时2?n(n?1)成立。 因此，当n?5时,anSn?1成立。

32n

2…………12分

4.解：（1）由题意知f(x)??x?2x?4,f'(x)??3x?4x.

令f'(x)?0,得x?0或.

当x在[-1，1]上变化时，f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：

x -1 -7 -1 （-1，0） - ↓ 0 0 -4 （0，1） + ↑ 1 1 -3 43f'(x) f(x) ?对于m?[?1,1],f(m)的最小值为f(0)??4, ?f'(x)??3x2?4x的对称轴为x?

2,且抛物线开口向下 2?对于n?[?1,1],f'(n)的最小值为f'(?1)??7. ?f(m)?f'(n)的最小值为-11。

（2）?f'(x)??3x(x?

…………6分

2a) 3①若a?0,当x?0时,f'(x)?0

?f(x)在?0,???上单调递减，

又f(0)??4,则当x?0时,f(x)??4.

?当a?0时,不存在x0?0,使f(x0)?0.

②若a?0,则当0?x?当x?2a时,f'(x)?0, 32a时,f'(x)?0. 3?2??2a?从而f(x)在?0,?上单调递增，在?,???上单调递减，

?3??3??当x?(0,??)时,f(x)max2a8a34a2?f()????4.

32794a3?4?0,即a3?27,解得a?3. 根据题意，27综上，a的取值范围是(3,??).

…………12分

新课标2012年高考理科数学中档解答题强化训练（含答案）（五）

1.如图，在平面直角坐标系xoy中，点A在x轴的正半轴上，直线AB的倾斜角为

3?，|OB|?2，设4?3?AOB??，??(,?)。

24 （1）用θ表示点B的坐标及|OA|。 （2）若tan???

2.四棱锥P—ABCD中，侧面PAD?底面ABCD，底面ABCD是矩形，BC=2CD=2，又PA=PD，?APD?90?,E、G分别是BC、PE的中点。 （1）求证：AD?PE；

（2）求二面角E—AD—G的大小。

3已知函数f(x)?xln(1?x)?a(x?1)，其中a为实常数。 （1）当x??1,???时，f?(x)?0恒成立，求a的取值范围；

4,求OA?OB的值。 3

（2）求函数g(x)?f?(x)?

ax的单调区间。 1?x4已知数列{an}满足a1?1,a2?1,且[3?(?1)n]an?2?2an?2[(?1)n?1] (n?1,2,3,?) 2 （1）求a3,a4,a5,a6的值及数列{an}的通项公式；

（2）令bn?a2n?1?a2n，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证Tn?3.

新课标高考中档解答题强化训练答案 （五）

1．解：（1）由三角函数的定义，得点B的坐标为(2cos?,2sin?). 2分

在?AOB中,|OB|?2,?BAO?由正弦定得，得

?4,?B????3??????, 44|OB|sin?4?|OA| 4分 sinB 即

222?|OA|

3sin(???)4

所以|OA|?22sin(???) 6分

注：若用直线AB方程求得|AO|?2(sin??cos?)也得分。

34 （2）由（1）得OA?OB?|OA?|?|OB|cos?

3?42sin(???)?cos?. 8分

44?3因为tan???,??(,?)

32443所以sin??,cos??? 10分

55333又sin(???)?sin??cos??cos??sin?

444?23242?(?)?(?)??. 2525102312?(?)??. 12分 10525

所以OA?OB?42?2．解：解法一：

（1）如图，取AD的中点O，连结OP，OE

?PA?PD,?OP?AD 2分

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