新课标2012年高考理科数学中档解答题强化训练题（含详细答案）(5)

?SC?BE?SB?CH

2a?7a2?7a 9分 2

?BE?2a

71?在Rt?BES中,SE?2a2?a2?a,

42

11?EF?a?a?a. 10分

22在Rt?FEO中，OF?a,?sin?EOF?即直线SA与平面BED所成角为

EF1?. 11分 OF2?. 12分 6 （2）法二：由（1）知BD?SO， 同理可证AC?SO， ?SO?平面AC， 取AC和BD的交点O为原点建立如图所示的坐标系， 设SO?x，

则OA?4a2?x2,OB?2a2?x2.

?OA?OB,AB?2a， ?(4a2?x2)?(2a2?x2)?4a2

解得x?a.

?OA?3a，

则A(3a,0,0)

C(?3a,0,0),S(0,0,a) 7分

?SC?平面EBD，

?????SC是平面EBD的法向量。

?????SC?(?3a,0,?a) ????SA?(3a,0,?a)

设SA与平面BED所成角为?，则

???????|SC?SA||1?3a2?a2|1?????sin??????? 11分 |SC|?|SA|3?1a?3?1a2即SA与平面BED所成的角为

? 6

3．解：（1）Sn? 1anan?1 21n?1时，a1?a1a2,?a2?2. 1分

211n?2时，Sn?Sn?1?anan?1?an?1an

221?an?an(an?1?an?1), 3分

2?an?0,?an?1?an?1?2(n?2). 4分

令n?2m?1,(m?N*) 得a2m?1?1?2(m?1)?2m?1 令n?2m(m?N*) 得a2m?2?2(m?1)?2m.

故an?n. 6分

（2）?an?n

?Sn?1?2?3???n?n(n?1)2 7分

am?1am?2(m?1)(m?2)2?m2?3m?2m?m ?m?2m?3. 8分 2m必为正整数， ?m?1,2 9分

当m?1时，m?2m?3?6

由Sn(n?1)n?2?6.

得n?3,即am?1am?2a为数列{Sn}中第3项 m

故所求m?1,2. 12分

4.解：（1）?f(x)?ln(x?1)?xa(x?1)

分 11

?f?(x)?a(x?1)?1a(x?1)2(a?0)

?函数f(x)在[0，+∞）恒成立 2分

?a(x?1)?1?0对任意x??0,???恒成立，

即a?1x?1对任意x??0,???恒成立 3分 而当x??0,???时，(1x?1)max?1,

?a?1. 4分

2）当a?1，f?(x)?x(x?1)2 ?当x?????12,0???时，f?(x)?0,f(x)在??1???2,0??上单调递减， 当x??0,1?时，f?(x)?0,f(x)在（0，1]上单调递增 6分

?f(x)在[?12,1]上有唯一极小值点。

故f(x)min?f(0)?0 7分 又f(?1)?1?12ln2?1?ln2,f(1)??12?ln2 8分 f(?133?ln162)?f(1)?2?2ln2?lne3?ln162?2.

?e3?16,?f(?12)?f(1)?0，

即f(?12)?f(1). 9分

?f(x)在[?12,1]上的最大值为f(?12)?1?ln2.

综上，函数f(x)在[?12,1]上的最大值是1?ln2，最小值是0。 3）法一：用数学归纳法。 ①当n?2时，要证12?ln2，只要证ln4?1.显然成立。 11分 ②假设当n?k时，

不等式

1?13?14???1k?lnk.(k?1,k?N*2)成 立 则当n?k?1时， 11112?3?4???k?1k?1?lnk?1k?1. 12分 5分10分

（

（

要证lnk?1k?1?ln(k?1)成立， 只要证1k?1k?1?lnk， 即1k?1?ln(1?1k). 令1k?x?0，则上式化为 x1?x?ln(1?x)(x?0). 只要证：ln(1?x)?x1?x?0(*).

由（1）知，当a?1时，

f(x)?ln(1?x)?xx?1在[0，+∞）内是增函数， 故有f(x)?f(0)，

好ln(1?x)?xx?1,x??0,???成立， 而（*）中x?1k(k?1,k?N*),x?0

?ln(1?x)?x1?x?0，即（*）式成立，

?当n?k?1时，不等式成立，

由①②知对任意n?1的正整数不等式都成立。 14分 法二：由（1）知，当a?1时，

f(x)?ln(1?x)?xx?1在[0，+∞）上是增函数， 故有f(x)?f(0)， 即ln(1?x)?x1?x,x?[0,??)成立。 11分 令x?1n(n?N/)， 则x?0

?有ln(1?x)?x1?x， 即lnn?11n?n?1 12分 由此得ln21?12,ln3141n12?3,ln3?4,?,lnn?1?n,

则ln234n11?ln2?ln3???ln111n?1?2?3?4???n即得lnn?11112?3?4???n.

分

13

1111??????lnn. 14分 234n新课标2012年高考理科数学中档解答题强化训练（含答案）（七）

故对大于1的任意正整数n，都有1． 已知函数f(x)?4cos4x?2cos2x?1sin(?x)sin(?x)44??

(Ⅰ)求f(?11?)的值； 12(Ⅱ)当x?[0,?4)时，求gg(x)?1f(x)?sin2x的最大值和最小值。 22设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知。

a1?1,b1?3,a2?b2?8,T3?S3?15

(Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式；

(Ⅱ)若数列{cn}满足a1cn?a2cn?1???an?1c2?2n?1?n?2对任意n?N*都成立；求证：数列{cn}是等比数列。

3.如图，已知AB?平面BCE,CD//AB,?BCE是正三角 形，AB?BC?2CD。

(Ⅰ)在线段BE上是否存在一点F，使CF//平面ADE? (Ⅱ)求证：平面ADE?平面ABE；

(Ⅲ)求二面角A?DE?B的正切值。 4已知函数f(x)?a?xlna，其中a?(1,e] (Ⅰ)讨论f(x)的单调性；

(Ⅱ)求证：对?x1,x2?[?1,1]，都有|f(x1)?f(x2)|?e?2。

x新课标高考中档解答题强化训练答案 （七）

1解：（Ⅰ）f(x)?(1?cos2x)2?2cos2x?1sin(?x)sin(?x)442cos22x???cos22xsin(?x)cos(?x)44??

2cos22x??2cos2x…………………………………4分 ??cos2xsin(?2x)2 ?f(?11?11??)?2cos(?)?2cos?3……………………………………6分 12662sin(2x?) ……………………………………8分

4 (Ⅱ)g(x)?cos2x?sin2x??

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