7.4达朗贝尔公式(10)

数学物理方法课件

一个端点自由2 2 2 ( 2 a )u ( x , t ) = 0 t x 2

(0 < x < ∞ )

设初始条件为 边界条件 应该是偶延拓

u t =0 = ( x) uxx =0

和

ux

t =0

= ψ ( x)

=0( x ≥ 0) ( x < 0)

( x) Φ( x) = ( x)

ψ ( x) Ψ ( x) = ψ ( x)x + at

( x ≥ 0) ( x < 0)

1 1 u ( x, t ) = [Φ ( x + at ) + Φ ( x at )] + ∫at Ψ (ξ )dξ 2 2a x x + at 1 1 [ ( x + at ) + ( x at )] + ∫ ψ (ξ ) d ξ 2 a x at 2 u ( x, t ) x + at 1 1 1 [ ( x + at ) + ( at x )] + ψ (ξ ) d ξ + 2 2a ∫ 2a 0

(t ≤ x / a )at x

∫0

ψ (ξ ) d ξ

(t ≥ x / a )

(t ≥ x / a )

1 2a

x + at

1 ∫at Ψ (ξ ) dξ = 2a x 1 2ax + at

x + at

∫0

1 Ψ (ξ ) dξ + 2a0

1 ∫at Ψ (ξ ) dξ = 2a xx + at

0

x + at

∫0

1 ψ (ξ ) dξ + 2a 1 2aat x

x at

∫ ψ ( ξ ) dξ

0

=

∫0

ψ (ξ ) dξ

1 1 ∫ at ψ ( ξ ) d ( ξ ) = 2a 2a ( x )

∫0

ψ (ξ ) dξ +

∫ ψ (ξ ) d (ξ )0

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