课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题答案(9)

数字信号处理 答案

%(X由式①知 k) 为

~ k nkn

X= W= x (n ( k ) = X (z ) | j2πk N ) z | z= W k = x (n ) W N ③

z=e

N

∑

∞

n= ∞

N

∑

∞

n= ∞

将式③代入式②得到

1 ~x(n)=

N

∞

1 ∞km kn

()()xmWW=xm ∑∑∑N N

Nk=0 m= ∞m= ∞ N 1

k(m n)

W∑Nk=0

N 1

由于 所以

1

N

∑

N 1

1k(m n)

WN=

0k=0

m=n+lN其它m

~x(n)=

∑x(n+lN)

l= ∞

∞

~

X(k)=X(k)RN(k)由题意知

所以根据有关X(k)与xN(n)的周期延拓序列的DFS系数的关系有

xN(n)=IDFT[X(k)]=~x(n)RN(n)

=

∑x(n+lN)R

l= ∞

∞

∞

N

(n)

=

∑a

n+lN

u(n+lN)RN(n)

l= ∞

由于0≤n≤N－1， 所以

≥ 0 即 l 1n+lN ≥ 0

u(n+lN)=

0l<0n

n

因此 xN(n)=a

∑alN RN(n)=

l=0

∞l= ∞

∞

说明： 平时解题时， 本题推导 xN(n)=IDFT[X(k)]N=

a

N(n)N

1 a

∑x(n+lN)RN(n)

的过程可省去， 直接引用频域采样理论给出的结论（教材中式（3.3.2）和(3.3.3)）即可。

14. 解: 如前所述， 记fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFT［F(k)］=x(n) 20 y(n)。 fl(n)长度为27， f(n)长度为20。 由教材中式（3.4.3）知道f(n)与fl(n)的关系为

f(n)=

∑f(n+20m)R

l

m= ∞

∞

20(n)

只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7≤n≤19

15. 解： （1）因为x(n)是实序列， 由第7题证明结果有X(k)=X*(N－k)， 即

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