课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题答案(12)

数字信号处理 答案

读者可以通过作图来理解重叠保留法的原理和本题的解答。 ? 22. 证明：证明 DFT的频域循环卷积定理重写如下: ?

设h(n)和x(n)的长度分别为N和M， ym(n)=h(n)x(n)?

H(k)=DFT［h(n)］L, X(k)=DFT［X(n)］L 则

Y ( k ) = DFT[ y ( n )] 1H (k ) L X(k) =mmL

L

1L 1

= ∑H(j)X((j k))LRL(k)Lj=0

其中， L≥max［N， M］。

根据DFT的惟一性， 只要证明ym(n)=IDFT［Ym(k)］=h(n)x(n)， 就证明了DFT的频域循环卷积定理。

1L 1 ym(n)=IDFT[Ym(k)]=IDFT ∑H(j)X((j k))LRL(k)

Lj=0

kn1N 1 1L 1

=∑ ∑H(j)X((k j))L WN

Lk=0 Lj=0

N 11L 1 jn1 (k j)n

X((k j))LWN =∑H(j)WN ∑Lj=0Lk=0

令m=k j

=

1N 1 j1N 1 mn mn

h(n)∑X((m))LWN=h(n)∑X((m))LWN

Lm= jLm=0

1N 1 mn

=h(n)∑X(m)LWN=h(n)x(n)

Lm=0

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