课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题答案(3)

数字信号处理 答案

等式两边进行DFT， 得到

X(k)－X(k)WkN+N=Nδ(k)

故

X(k)=

当k=0时， 可直接计算得出X(0)为 X(0)=

N[δ(k) 1]

k

1 WN

N 1n=0

k=1,2,L,N 1

∑n W=∑n=

0N

n=0

N 1

N(N 1)

2

这样， X(k)可写成如下形式：

N(N 1) 2

X(k)= N

k 1 WN,

k=0

k=1,2,L,N 1

解法二 k=0时

X(k)=∑n=

n=0N 1

N(N 1)

2

2k

3k

(N 1)k

(N 1)k

k≠0时，

k

X(k)=0+WN+2WN+3WN+L(N 1)WN

2k

3k

4k

kmW∑N (N 1)m=1N 1

k

WNX(k)=0+WN+2WN+3WN+L+(N 2)WN X(k) WX(k)=

N 1n=0

+(N 1)

k

N

=∑WNkn 1 (N 1)= N

N

所以 X ( k ) = k,k ≠ 0 即

1 WN

N(N 1)

2

X(k)=

N

k

1 WN

k=0

k=1,2,L,N 1

1x(n)=IDFT[X(k)]=2.解: （1）

N2π2π

∑X(k)W

k=0

N 1

kn

N

1 NjθjNmnN jθjN(N m)n = ee+ee N 22

j(mn+θ) 1 j(Nmn+θ)= e+eN 2

2π

2π

2π =cosmn+θ N n=0, 1, …, N－1

1 Njθ mnN jθ (N m)n （2）

x(n)=

jeWN

N 2

+

2

jeWN

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