《点集拓扑讲义》第八章 紧致性(16)

重点: 紧致空间的定义和性质难点: 紧致空间的性质

定 理 8.1.4 设 X 1 , X 2 , , X n 是 n 个 紧 致 空 间 (n 2), 则拓扑积空间 X 1 X 2 X n 也是一个紧致 空间，即紧致性质是一个有限可积的性质.证明：我们只需对 n=2 的情形给以证明.

设 ( X 1 , T1 ) , ( X 2 , T2 ) 是紧致拓扑空间,由积空间定 义 可 知 B {U V | U T1,V T2} 是 积 空 间 X 1 X 2 的 一个基，根据定理 8.1.3,我们只需证明由 B 的元 素构成的 X 1 X 2 的任意一个开覆盖都有一个有限 子覆盖即可得 X 1 X 2 是一个紧致空间.

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