《点集拓扑讲义》第八章 紧致性(10)

重点: 紧致空间的定义和性质难点: 紧致空间的性质

定理 8.1.3 紧致空间的每一个闭子集都是紧 致子集.证明：设 Y 是紧致空间 X 的闭子集，再设 A 是 Y 的一个 由 X 中的开集构成 的开 覆盖，则 ~ A A {Y } 就是 X 的一个开覆盖.由 X 的紧致性知 ~ ~ A1 覆盖 X,从而存在 A 的有 存在 A 的有限子覆盖~ 限子覆盖 A1 {Y } 覆盖 Y,从而由定理 8.1.1 知闭子

集 Y 是 X 的一个紧致子集.

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