《点集拓扑讲义》第八章 紧致性(13)

重点: 紧致空间的定义和性质难点: 紧致空间的性质

(3) . A T ,由于 T 是 X 拓扑,因此 A T T . (a) 若 (b) 若 A T1 ,则对 A A , X A是 X 中紧致闭集， 因此( X A) ( X A)A A A A

A T ,即 A

T T1 设

是 X 中紧致闭子集的交，从而它是闭集.设 A0 A ,则 X A 是紧致空间 X A 的闭集，从而由定理 8.1.5 A A 0X A是 知A A

X 的紧致闭子空间，因此 A A . (c) 当 (a),(b) 都 不 成 立 时 , 则 有 A1 A T , A 2 A T1 ,由(a)知 B1 A1 T ,由(b)知 B2 A 2 T1 ,于是X A X ( B1 B2 ) ( X B1 ) ( X B2 )

A T1 T

是 X 中的闭集,又 X B2 是紧致闭集，

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