浅谈构造法在数列中的运用(4)

nn1??42??k???n?1??6?k?4?k??n?1??

4?k?1k?1k?1?3n1?n?1?4?n?n?1??2n?1??2n?n?1???n?1? 412 ?n2?n?1?

412即 Sn?13?23?33???n3?n2?n?1?。

4 ???3.2 利用组合数公式构造数列的通项求和

在这种方法当中要用到组合数公式，所以要求对组合数的公式有较好的掌握，且思维要很发散，不能受到之前知识的局限。

12?22?32???n2?的前n项和Sn． 例16、求数列?12?22?32???n2?的通项为ak ?k?2? 解 设数列?ak??i???i?i?1??i??1

2i?1ki?2kk??2C?C?1?2?C??Ci1

2i112ii?2i?2i?1??kk ?2Ck3?1?Ck2?1

Sn??ak?2?Ck?2k?2nn3k?1??Ck2?1?a1 ?a1?1?

k?2n43 ?2Cn?2?Cn?2

?12n?n?1??n?2? 1212?22?32???n2?的前n项和Sn?故 数列?12n?n?1??n?2?。 124 构造数列证明不等式

数列和不等式都是高中数学的重要内容，这两个重点知识的联袂、交汇融合，更能考察学生对知识的综合理解与运用的能力。不等式是高中数学培养学生思维能力的一个突出的内容，它可以体现数学思维中的很多方法。对于证明有关自然数n的不等式的常规思路是数学归纳法或放缩法，但数学归纳法的证明过程比较繁琐，而放缩法的技巧性很强，难度很大。如果根据题目的具体结构和特点，能

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够运用高造法构造一个新的数列来间接证明，那么证明的难度就会大大减小。 4.1 直接法

当不等式的一边为一个常数时，可以直接将不等式的另外一边构造成一个数列，然后证明数列的单调性。根据单调性来判定不等式是否成立即可。

11117??????? n?1n?2n?32n121111证明：构造数列an? ?n?2,n?Z?? ??????n?1n?2n?32n11111因为 an?1?an??????0

2n?22n?1n?12n?12n?2例17、证明对于一切大于1的正整数n，有

所以 数列?an?为单调递增数列，又因为n是大于1的正整数 所以 an?a2?7，当且仅当n=2时等号成立。故原不等式成立。 124.2 作差法

对于证明关于自然数n的不等式A?n??B?n?的形式，可以构造一个数列{xn}使得xn?A?n??B?n?，然后通过证明数列{xn}是单调递增（或单调递减）的，来证明原不等式。通常在当A?n?或B?n?是很多项之和时选择用这个方法。如例18.

an?1?2?2?3?3?4????n?n?1? ?n?1,2,??证明不等式：例18、设：

?n?1?成立（n是所有的正整数）n?n?1??an?。（1986年全国高考试题） 222证明：先证明左边的不等式成立。构造数列{xn}，令xn?an?则：xn?1?xn?an?1?an?22?n?1??n?2??n?n?1???n?1??n?2???n?1?

n?n?1?

2 ?所以xn?1?xn。{xn}为单调递增数列，第一项x1??n?1??n?1???n?1??0

2?1为最小项

所以xn?x1?2?1?0 即有：an?n?n?1?.......左边得证。 2(n?1)2再证明右边的不等式成立。令yn?an?

2则：yn?1?yn?an?1?an22?n?1??n?2???22??n?1??n?2??2n?3

213

???n?2??2?n?1??n?2???n?1?2???n?2?n?1?0

2?2所以yn?1?yn,?yn?为单调递减数列。第一项y1?2?2为最大项 所以yn?y1?2?2?0 即 an22?n?1??.......右边得证。

2?n?1?成立。 n?n?1??an?综上得：

224.3 作商法

对于证明关于自然数n的不等式A?n??B?n?的形式，可以构造一个数列{xn}使得xn?A?n??B?n?，然后通过证明数列{xn}是单调递增（或单调递减）的，来证明原不等式。通常在当A?n?或B?n?是很多项之积时选择用这个方法。如例19.

例

19、对于大于

1

的自然数

n，证明不等式：

1?1??1??1?1(1?)??1????1????1?2n?1成立。 ??3?5??7??2n?1?21??1??1??1??1?1?1??1?????????3572n?1????????证明：构造数列{xn}，令xn?12n?12

?2?1??1??1??1?1?1?1??1????????? 2n?1?3??5??7??2n?1?则 xn?1?2?1??1??1??1??1???1???1????1??

3572n?32n?1????????2n?1?1??1???2n?1?2n?1?2n?12n??2n?12n?12n4n?12所以

xn?xn?1?1

所以xn?xn?1，即{xn}是单调递增数列，x2?8585?1 为最小项，即 xn?x2?15151?1??1??1?12n?1 即有：(1?)??1????1????1???3?5??7??2n?1?24.4 差分法

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对于“a1?a2?a3???an?(?)Sn”型的不等式，可以令bn?Sn?Sn?1(n?2)，

b1?S1，如果能够证明ai?bi(i?1,2,3,?,n)成立，则原不等式就可以证明。这种

方法思路简单清楚，操作起来方便有效。如例20.

例20、证明对于一切正整数n，有1?111?????2n。 23n证明：记数列?bn?的前n项和为Sn?2n。 当n?2时，bn?Sn?Sn?1?2n?n?1???2n?n?1?1 n?1?又b1?S1?21?1，则数列?bn?的每一项均大于数列??的相应项。

?n??1?故Sn大于数列??的前n项和，故原不等式成立。

?n?4.5 商分法

对于“a1?a2?a3???an?(?)Tn”型的不等式，可以令bn?TnTn?1,(n?2)，

b1?T1，如果能够证明ai?(?)bi(i?1,2,3,?,n)成立，则原不等式成立。如例21.

例21、证明对于一切大于1的正整数n，

1?2n?1?1??1??有?1????1??????1? ??352n?12??????2462n证明：原不等式即??????2n?1，记数列?bn?的前n项的积为

1352n?1 Tn?2n?1，则b1?T1?3?2 当n?2时，

2n?1?bn?Tn?Tn?1?2n?1?2n?12n?12n?1，欲证

2n?12n?，只须证2n?12n?12n，即证4n2?1?4n2，而这是明显成立的。 2n?1?2n??2n?所以数列?bn?的每一项均小于数列??的对应项，所以Tn小于数列???2n?1??2n?1?的前n项积，所以原不等式成立。

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5 总结

通过以上的例子，不难发现通过地推公式，有的数列可以通过构造新数列的方法，构造出一个较为熟悉的数列，从而求出通项公式和前n项和等，这也是一种化归能力的体现。此类问题考查了学生思维的灵活性与分析问题及运用知识解决问题的能力。也正因为此，这种类型的题目越来越受到高考命题者的青睐。

另外，不难看出的是构造法在数列求通项公式中的运用和在构造数列证明不等式中的运用虽然灵活性强，但是可操作性还是很强的。相比利用构造法求数列前n项和题型较为常规，理解起来较为容易。

因为有关数列的题型在高考中占得比例较大，所以作者认为在高中教学过程中，特别是在高三总复习的时候应该将构造法在数列中的运用和构造数列证明不等式的方法进行系统的讲解。

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