浅谈构造法在数列中的运用

四川师范大学本科毕业论文

浅谈构造法在数列中的运用

学生姓名 院系名称 专业名称 班 级 学 号 指导教师 完成时间

数学与软件科学学院 数学与应用数学

浅谈构造法在数列中的运用

学生姓名： 指导教师：

内容摘要:构造法，就是根据题设条件或结论所具有的特征、性质，构造出满

足条件或结论的数学模型，借助于该数学模型解决数学问题的方法。利用利用构造法求数列的通项公式是高考中的常考点之一，解题思路比较简单、可操作性强。但是利用构造法求数列的前n项和的可操作性则较弱。本文就是通过举例来说明构造法在数列求通项公式和前n项和中的一些运用，并简要说明一些通过构造数列的方法来证明一些不等式题型的方法。

关键词：构造法 数列 不等式

How to Apply the Construction Method in Sequence

Abstract:Construction method, is a way of which is based on the

characteristics of the hypothesis or conclusion to build a mathematical model which is constructed to meet the condition and conclusion, with which to solve mathematics problems.The general term formula for the sequence which is constructed by using construction method is often one of the examination points in the college entrance examination. With this method, the way of problem-solving is relatively simple and strong operability. But for the sum of the first n terms of the sequence which is constructed by using construction method is weak in its maneuverability.This article is through the way of giving examples to illustrate some application of construction method for general term formula in sequence and the sum of the first n terms, and is a brief description of some ways by constructing a sequence to prove some inequality questions.

Key words:Construction Sequence Inequality

目录

1引言............................................................1

2构造法在数列求通项公式中的运用..................................2 2.1直接构造一个等差数列或等比数列............................2

2.2形如an?1?pan?f(n)（p为常数，且p?0,p?1）的数列........2 2.3形如“pan?2?qan?1?ran”型的数列...........................4 2.4用特征方程构造等差数列或等比数列..........................6 2.5取倒数构造等差数列或等比数列..............................6 2.6取对数构造新的等差或等比数列..............................7 2.7公式变形构造..............................................7

2.8通过换元来构造新的数列求解................................8

2.9对于两个数列的复合问题，也可构造等差或等比数列求解........9 2.10其他特殊数列的特殊构造方法...............................9 3构造法在数列求和中的运用........................................11 3.1逐差构造法................................................11

3.2利用组合数公式构造数列的通项求和..........................12 4构造数列证明不等式..............................................12 4.1直接法....................................................13

4.2作差法....................................................13 4.3作商法....................................................14

4.4差分法....................................................15 4.5商分法....................................................15 5总结............................................................16 参考文献...........................................................17 致谢...............................................................18

浅谈构造法在数列中的运用

1引言

数列的基本知识 等差数列 对一切n∈N*有an?1?an?d 定义 (d为常数） 通项 公式 中项 公式 任意两项 的关系 前n项 和公式 等比数列 对一切n∈N*有：=q (a1?0,且q是非零常数） an?a1?(n?1)d 2an?1=an+an?2 an?a1?qn?1 2an?1=an?an?2 an=am?(n?m)d n(a1?an)sn?2 n(n?1)?na1?d2an?am?qn?m na1??sn??a1?anqa1(1?qn)??1?q?1?q(q?1)(q?1) 数列的实质是“按照一定规律”排列成的一列数，描述这种“规律”最简单的形式就是通项公式，所以求数列的通项公式是数列中最常见的题型之一，也是历年来高考中常遇到的问题，通常数列题都有三个小问，而第一个问基本上都是求通项，且求通项都是为后面的两个问题作铺垫。所以，求数列的通项公式是研究数列的一个重要课题。

另外，除求数列的通项公式外，求数列的前n项和也是数列题型中的常见题型之一。除一些常见的公式法、错位法、裂项法之外，构造法对于求数列的通项公式和前n项和都是一个不错的方法之一。构造法的内涵十分丰富，没有固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点而采取的解决办法，基本方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法。解题的过程就是一个不断把“未知”转化为“已知”的过程，这里的转化是解题的关键。构造法作为一种重要的化归手段，在数学解题中起到重要的作用。

在解题的过程当中，如果按照固定的思维方法去探求解题途径有较大的困难时，可以启发学生根据题目的特点，展开丰富的联想拓宽自己的思维范围，运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的方法之一，同时也对提高学生的解题能力有很大的帮助。

2构造法在数列求通项公式中的运用

2.1直接构造一个等差数列或等比数列

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