浅谈构造法在数列中的运用(3)

例8、已知数列?an?中，a1?2，an?2an?1，求数列?an?的通项公式。 an?1?1解：等式两边同时取倒数，可得

?111111?1???? ??1??又因?1??an2an?12an2?an?1??1?3113?1?为 所以??1?是以为首项，为公比的等比数列

22a12?an?13?1?所以 ?1????an2?2?n?1 ? an?13?1????2?2?n?1

?12.6取对数构造新的等差或等比数列

对于形如“an?qanp?1”的类型，此结构需等式两边同时取对数，对数的底任意取得，从而得到logxan?plogxan?1?logxq，设bn?logxan，可得：

bn?pbn?1??，转化为题型2（1），利用上面介绍的方法可解。如例9。

2例9、设正项数列?an?满足a1?1，an?2anan?的通项公式 ?1?n?2?，求数列?2解：由题意可知an?0 将an?2an?1两边同时取对数得：log2an?2log2an?1?1

所以有 log2an?1?2(log2an?1?1) 令 bn?log2an?1 则 bn?2bn?1，b1?1 所以?bn?是以1为首项，2为公比的等比数列。得：bn?1?2n?1?2n?1

? log2an?1?2n?1 ? log2an?2n?1?1 ? an?22n?1?1

变式：已知a1?2，点?an,an?1?在函数f?x??x2?2x的图像上，其中n=1，2，3，......求an的通项公式。 2.7公式变形构造

此类题型对等差数列和等比数列的最基本的公式进行变形，使得已知条件中的递推关系能够转化为我们所熟悉的类型。

1?1??例10、已知正项数列?an?的前n项和Sn满足Sn??an??，求通项an。 2?an??分析：在这个题型的递推关系中，既有前n项和Sn，又有数列的通项an，

7

在统一式子里面通常考虑只出现一类符号，所以这个题首先要想到把Sn转化成

an的形式或把an转化为Sn的形式。在这里一般考虑把an转化成Sn，因为这样只引入了两个符号，而如果把Sn化为an的话会引入n个符号。

1?1??解：由题意可知：s1?a1??a1?? ? a1?1 又 an?sn?sn?1 ?2?a1?1?1??a?所以 sn??n??2?an???1?11??s?s?s?s? 可得 nn?1nn?1?2?s?ss?snn?1?nn?1?222?sn? sn?1?1 所以数列sn是以1为首项，1为公差的等差数列。

2?1??n?1??1?n 又因为Sn?0 所以sn?n 当n?2时所以sn??an?sn?sn?1?n?n?1 当n=1时，a1?1也适合

所以 an?n?n?1

变式：设数列?an?的前n项和为Sn，若2an?2n?Sn成立，求an的通项。

2.8通过换元来构造新的数列求解 例11、在数列?an?中，a1?1，an?1?11?4an?1?24an，求an。 16??分析：本题的难点是已知递推关系式中的1?24an较难处理，可构造新数列?bn?，令bn?1?24an，这样就巧妙地去掉了根式，将通项进行转化，便于化简变形。

2bn?1解：令bn?1?24an?0，则b1?5,b?1?14an，即an?，则原条件转

242n22??bn?1b122n?1?????2b?b?3??1?4??b化为?1，化简得，即2bn?1?bn?3，n?1nn??2416?24?变形得bn?1?3?1?bn?3?，所以数列?bn?3?是以b1?3?2为首项，1为公比的等

22n?1?1?比数列。故bn?3?2????2??22?n，即bn?22?n?3

2bn?122n?1?3?2n?1?1?所以an? 243?22n?1 8

2.9对于两个数列的复合问题，也可构造等差或等比数列求解

?a?5an?15bn例12、在数列?an?，?bn?中，a1?b1?1，且?n?1?bn?1?an?7bn的通项公式。

求?an?，?bn?分析：在这类题中出现了两个数列，在两个数列之间不能相互妆化时，就考虑是否能够构造一个?an??bn?的新数列。

解：构造新数列?an??bn?，

15?7?15?7???则an?1??bn?1??5???an??15?7??bn?5???an?，得bn?，令??5??5?????1??3或?2?5，所以数列?an??bn?是首项为a1??b1，公比q???5的等比数列。当?1??3时，数列?an??bn?是首项为a1?3b1??2，公比q???5=2的等比数列， 故 an?3bn?2?2n?1?2n .........(1)

当?2?5时，数列?an??bn?是首项为a1?5b1?6，公比q???5?10的等比数列， 故 an?5bn?6?10n?1 ..........(2)

93联立两式得：an??10n?1?5?2n?3 bn??10n?1?2n?3

442.10其他特殊数列的特殊构造方法

12?22?32???n2?的通项公式。 例13、求数列?分析：这是自然数平方和的通项公式，其结论是要求我们能够记住的一个公式。首先，看到这个自然数平方之和，不做任何变形或构造肯定是无法入手的，肯定要做一些改造，所以由此式联想到自然数求和1+2+3+??+n，这样就有了

12?22?32???n2一个式子与之一一对应，现在将其组合在一起通过列举法列

1?2?3???n357911举出前5项，取n=1，2，3，4，5时，分式的值依次为,,,,，所以做出

333332n?112?22?32???n22n?1?大胆的猜想，该分式的通项为，即，从而得到

133?1?n?n2 9

112?22?32???n2?n?n?1??2n?1?，再通过数学归纳法证明我们的猜想是否正

6确既可。

12?22?32???n2解：构造分式

1?2?3???n357911取n?1，2，3，4，5时，其分式的值一次为，，，，

33333观察这个有限的前5项可知：各分数的分母为常数3，分子组成一个以3为首项，2为公差的等差数列．于是可推测它的第n项是

3??n?1??22n?1?

3312?22?32???n212?22?32??n22n?1那么 ??11?2?3???n3?1?n?n2则 12?22?32??n2?1n?n?1??2n?1?． 6用数学归纳法证明此结论：

当n?1时，结论成立； 假设n?k时结论成立，则有

12?22?32???k2?1k?k?1??2k?1? 6那么当n?k?1时，左边有

12?22?32????k?1??212k?k?1??2k?1???k?1? 6?1? ?(k?1)?k?2k?1???k?1??

?6?1?k?1??k?2??2k?3? 61??k?1?2k2?k?6k?6

611右边有?k?1???k?1??1??2?k?1??1???k?1?2k2?k?6k?6

66????? 即当n=k+1时，等式左边等于等式的右边

所以对于一切n，等式都成立． 故12?22?32??n2?1n?n?1??2n?1? 6 10

例14、已知函数f?x???x?2,?x?0?又数列?an?中a1?2，其前n项和为

?2对所有大于1的自然数n都有Sn?f?Sn?1?，求数列?an?的通项公式。 Sn，n?Z?，

分析：本题真正能够入手的就只有两个条件，即：f?x???x?2和

?2Sn?f?Sn?1?，那么当没有什么巧解得时候就根据题意按部就班的做，Sn?f?Sn?1???Sn?1?2,Sn?0?Sn?Sn?1?2?Sn?Sn?1?2构造等

?2差数列。

解：由题意知Sn?f?Sn?1???Sn?1?2，所以有Sn?0，等式两边同时开

?2方得：Sn?Sn?1?2 ? Sn?Sn?1?2，令bn?Sn，b1?a1?2 则

?bn?是以2为首项，2为公差的等差数列，所以有bn?2??n?1?2?2n

2? Sn?2n?Sn?2n2 ? an?Sn?Sn?1?2n2?2?n?1??2n?1

3 构造法在数列求和中的运用

构造法在数列求和中的运用相比在求数列通项公式中的运用就要少很多，而且在数列求和中的构造法相比也要难很多，在近几年的高考中都很少遇到，它要求具备很好的想象能力和转化能力。所以在这里仅选几个经典的例子进行简要的介绍。

3.1 逐差构造法

一个自然数高次幂所组成的数列，它的前n项和可以通过逐差构造法，转化为用自然数低次幂的前n项的和来表示。

例15、求Sn?13?23?33???n3． 解 构造数列?n?1??n4

4??? ?k?1??k4?4k3?6k2?4k?1

4???k?1?nk?144?kn4????4knk?13nk?13?6k2?4k?1

n???n?1??1?4?k?6?k?4?k?n

2k?1k?1 11

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