典型例题
x2y2例1、求椭圆??1的右焦点和右准线；左焦点和左准线；
2516a2a2解：由题意可知右焦点F(c,0)右准线x?；左焦点F(?c,0)和左准线x??
cc变式：求椭圆9x?y?81方程的准线方程；
22y2x2a2272解：椭圆可化为标准方程为： ????1，故其准线方程为y??c4819小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出
x2y2例2、椭圆??1上的点M到左准线的距离是2.5，求M到左焦点的距离为 .
2516变式：求M到右焦点的距离为 .
解：记椭圆的左右焦点分别为F1,F2到左右准线的距离分别为d1,d2由椭圆的第二定义可知：
|MF1|c3|MF|3?e???|MF1|?1.5 ?e|MF1|?ed1??2.5?1.5?d1a5d5又由椭的第一定义可知：|MF1|?|MF2|?2a?10?|MF2|?8.5
a250585?2.5???另解：点M到左准线的距离是2.5，所以点M到右准线的距离为2 c326?|MF2|385?e?|MF2|?ed2???8.5 d256小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用
例1、 点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线x?8的距离的比是1：2，求点P的轨迹；
(x?2)2?y21x2y2?由化简得??1，故解法一：设P(x,y)为所求轨迹上的任一点，则
|x?8|21612所的轨迹是椭圆。
a2?8解得a?4，又因为解法二：因为定点A（2，0）所以c?2，定直线x?8所以x?cx2y2c1??1 e??故所求的轨迹方程为
1612a2变式：点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线x?5的距离的比是1：2，求点P的轨迹；
分析：这道题目与刚才的哪道题目可以说是同一种类型的题目，那么能否用上面的两种方法来解呢？
解法一：设P(x,y)为所求轨迹上的任一点，则
(x?2)2?y21?由化简得
|x?5|2(x?1)2y23x?6x?4y?9?0配方得??1，故所的轨迹是椭圆，其中心在（1，0）
4322a2解法二：因为定点A（2，0）所以c?2，定直线x?8所以x??5解得a2?10，故所求
cx2y2的轨迹方程为??1
106x2y2(x?1)2y2问题1：求出椭圆方程??1的长半轴长、短半轴长、半焦距、离心??1和
4343率；
x2y2(x?1)2y2问题2：求出椭圆方程??1长轴顶点、焦点、准线方程； ??1和
4343x2y2(x?1)2y2解：因为把椭圆??1所以问题1中??1向右平移一个单位即可以得到椭圆
4343的所有问题均不变，均为a?3,b?3,c?1,e?c1? a2x2y2??1长轴顶点、焦点、准线方程分别为：(?2,0)，(?1,0)x??4； 43(x?1)2y2??1长轴顶点、焦点、准线方程分别为：(?2?1,0)，(?1?1,0)x??4?1； 43反思：由于是标准方程，故只要有两上独立的条件就可以确定一个椭圆，而题目中有三个条件，所以我们必须进行检验，又因为e?c21另一方面离心率就等于这是两上矛盾的结果，所?a210以所求方程是错误的。又由解法一可知，所求得的椭圆不是标准方程。
小结：以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方法是采用求轨迹方程的思路,但是这种方法计算量比较大；
解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据可以符合课本例4的关系的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准方程，则只能用解法一的思维来解。
例4、设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以AB为直径的圆必与椭圆的右准线（ ） A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切
分析：如何判断直线与圆的位置关系呢？
解：设AB的中点为M，则M即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F，右准线为l； 过点A、B、M分别作出准线l的垂线，分别记为d1,d2,d由梯形的中位线可知d?d1?d2 2又由椭圆的第二定义可知
|AF||BF|?e?e即|AF|?|BF|?e(d1?d2) d1d2又?d?d2|AB||AB||AF|?|BF|且0?e?1?d?故直线与圆相离 ??e?12222x2y2例5、已知点M为椭圆??1的上任意一点，F1、F2分别为左右焦点；且A(1,2)求
25165|MA|?|MF1|的最小值
35分析：应如何把|MF1|表示出来
3a225解：左准线l1：x????，作MD?l1于点D，记d?|MD|
c3由第二定义可知：
|MF1|c335?e?? ? |MF1|?d ? d?|MF1| da553故有|MA|?5|MF1|?|MA|?d?|MA|?|MD| 325 3所以有当A、M、D三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：1?即|MA|?528|MF1|的最小值是
33变式1：3|MA|?5|MF1|的最小值； 解：3|MA|?5|MF1|?3(|MA|?变式2：
528|MF1|)?3??28 33M D A F 3|MA|?|MF1|的最小值； 533532828解：|MA|?|MF1|?(|MA|?|MF1|)?? ?553535
课堂练习
1．已知 是椭圆 上一点，若 到椭圆右准线的距离是 ，则 到左焦点的距
离为_____________．
2．若椭圆 的离心率为 ，则它的长半轴长是______________．
答案：1． 归纳小结：
2．1或2
1．椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程； 2．椭圆定义的简单运用；
3．离心率的求法以及焦半径公式的应用； 课后作业
1.例题5的两个变式；
2. 已知 ， 为椭圆 上的两点， 是椭圆的右焦点．若 ，
的中点到椭圆左准线的距离是
，试确定椭圆的方程．
解：由椭圆方程可知 、两准线间距离为 ．设 ， 到右准线距离分别为 ，
，
由椭圆定义有 ，所以 ，则 ，
中点 到右准线距离为 ，于是 到左准线距离为 ，
，所求椭
圆方程为 思考：
．
221．方程2(x?1)?(y?1)?|x?y?2|表示什么曲线？
(x?1)2?(y?1)222?解：??1；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数
2|x?y?2|22（且该常数小于1）?方程表示椭圆 例Ⅱ、（06四川高考15）如图把椭圆的长轴AB分成8等分，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2?P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|?|P2F|???|P7F|= 解法一：e?c35?，设Pi的横坐标为xi，则xi??5?i不妨设其焦点为左焦点 a54|PiF|a2353c3由?e??得|PiF|?e(xi?)?a?exi?5??(?5?i)?2?i
c544da53|P1F|?|P2F|???|P7F|?2?7?(1?2???7)?35
4解法二：由题意可知P1和P7关于y轴对称，又由椭圆的对称性及其第一定义可知
|P1F|?|P7F|?2a，同理可知|P2F|?|P6F|?2a，|P3F|?|P5F|?2a，|P4F|?a
故|P1F|?|P2F|???|P7F|?7a?35 板书设计：
复习回顾 引入课题 问题： 推广： 椭圆第二定义 典型例题 1． 2． 3． 4． 5． 课堂练习： 课堂小结： 课后作业： 思考： 2. 椭圆中焦点三角形的性质及应用
定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
x2y2性质一：已知椭圆方程为2?2?1(a?b?0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2中
ab?F1PF2??,则S?F1PF2?b2tan。
2?(2c)2?F1F22??PF1?PF2?2PF1PF2cos?22?(PF1?PF2)2?2PF1PF2(1?cos?)
?PF1PF2?(PF1?PF2)2?4c22(1?cos?)4a2?4c22b2?? 2(1?cos?)1?cos??S?F1PF21b2??PF1PF2sin??sin??b2tan 21?cos?2x2y2性质二：已知椭圆方程为2?2?1(a?b?0),左右两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形
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