北方民族大学物理（上）题库(8)

分析 这仍是一个连续带电体问题，求解的关键在于如何取电荷元.现将半球壳分割为一组平行的细圆环，如图所示，从教材第5 －3 节的例1 可以看出，所有平行圆环在轴线上P 处的电场强度方向都相同，将所有带电圆环的电场强度积分，即可求得球心O 处的电场强度. 解 将半球壳分割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元

dq?δdS?δ?2πR2sinθdθ，在点O 激发的电场强度为

dE?1xdq4πε0x2?r2??2/3i

由于平行细圆环在点O 激发的电场强度方向相同，利用几何关系x?Rcosθ，r?Rsinθ统一积分变量，有

dE?1xdq1Rcosθ?δ?2πR2sinθdθ2/334πε0x2?r24πε0R

δ ?sinθcosθdθ2ε0??积分得 E??π/20δδsinθcosθdθ? 2ε04ε05 －14 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量.

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分析 方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即Φs?E?dS

S?方法2：作半径为R 的平面S′与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理

?E?dS?S1q?0 ?ε0这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S 的电场强度通量.因而

Φ??E?dS???E?dS

SS?解1 由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有

Φ??E?dS???E?dS

SS?依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元dS 的方向，

Φ??E?πR2?cosπ?πR2E

解2 取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为①

E?E?cose?sincosθeθ?sinθsiner?

dS?R2sinθdθder

Φ??E?dS??ER2sin2θsindθdSS??ER2sin2θdθ?sind00ππ

?πR2E5 －15 边长为a 的立方体如图所示，其表面分别平行于Oxy、Oyz 和Ozx 平面，立方体的一个顶点为坐标原点.现将立方体置于电场强度E=?E1?kx?i+E2j (k，E1 ，E2 为常数)的非均匀电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量.

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解 如图所示，由题意E 与Oxy 面平行，所以任何相对Oxy 面平行的立方体表面，电场强度的通量为零，即ΦOABC?ΦDEFG?0.而

ΦABGF??E?dS????E1?kx?i?E2j???dSj??E2a2

考虑到面CDEO 与面ABGF 的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同，故有

ΦCDEO??ΦABGF??E2a2

同理 ΦAOEF?E?dS??2??????Ei?Ej??dSi??Ea 121?ΦBCDG??E?dS????E1?ka?i?E2j???dSi???E1?ka?a2

因此，整个立方体表面的电场强度通量

Φ??Φ?ka3

5 －20 一个内外半径分别为R1 和R2 的均匀带电球壳，总电荷为Q1 ，球壳外同心罩一个半径为R3 的均匀带电球面，球面带电荷为Q2 .求电场分布.电场强度是否为离球心距离r 的连续函数？ 试分析.

分析 以球心O 为原点，球心至场点的距离r 为半径，作同心球面为高斯面.由于电荷呈球

对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等.因而

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2EdS?E?4πr .在确定高斯面内的电荷?q 后，利用高斯定理?EdS??q/ε0即可?求出电场强度的分布.

解 取半径为r 的同心球面为高斯面，由上述分析 r ＜R1 ，该高斯面内无电荷，

?q?0，故EE?4πr2??q/ε0

1?0

Q1r3?R13R1 ＜r ＜R2 ，高斯面内电荷?q? 33R2?R1Q1r3?R13故 E2? 34πε0R2?R13r2R2 ＜r ＜R3 ，高斯面内电荷为Q1 ，故

??????E3?r ＞R3 ，高斯面内电荷为Q1 ＋Q2 ，故

Q1

4πε0r2E4?Q1?Q2

4πε0r2电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图(B)所示.在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r ＝R3 的带电球面两侧，电场强度的跃变量

ΔE?E4?E3?Q2ζ?

4πε0R32ε0这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性.实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的，本题中带电球壳内外的电场，在球壳的厚度变小时，E 的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，E的变化成为一跃变.

5 －21 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R1 和R2 ＞R1 )，单位长度上的电荷为λ.求离轴线为r 处的电场强度：(1) r ＜R1 ，(2) R1 ＜r ＜R2 ，(3) r ＞R2 .

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分析 电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定沿轴对称分布，取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且EdS?E?2πrL，求出不同半径高斯面内的电荷

??q.即可解得各区域电场的分布.

?q?0

E1?0

E?2πrL??q/ε0

解 作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理 r ＜R1 ，

在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变 R1 ＜r ＜R2 ，

?q?λL

E2?λ 2πε0rr ＞R2，

?q?0

E3?0

在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变

ΔE?这与5 －20 题分析讨论的结果一致.

λλLζ?? 2πε0r2πε0rLε05 －22 如图所示，有三个点电荷Q1 、Q2 、Q3 沿一条直线等间距分布且Q1 ＝Q3 ＝Q.已知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q1 、Q3 的情况下，将Q2从点O 移到无穷远处外力所作的功.

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