2010届高考数学总复习：第二章 - 函数与基本初等函数I(8)

9.(2006年重庆卷)设a?0,a?1，函数f(x)?algx(loga?x?5x?7??0的解集为 .

22?x2?3)有最大值，则不等式

解析 设a?0,a?1，函数f(x)?alg(x22?2x?3)有最大值，∵lg(x2?2x?3)≥lg2有最

?x2?5x?7?0小值，∴ 0

?x?5x?7?1所以不等式的解集为?2,3?.

10.（2005年上海2）方程4x?2x?2?0的解是__________. 解析 4x?2x?2?0?(2x?1)(2x?2)?0?2x?1?x?0 三、解答题

11.(07上海)已知函数f?x??x?2ax(x?0,a?R)

（1）判断函数f?x?的奇偶性；

（2）若f?x?在区间?2,???是增函数，求实数a的取值范围。

解析 （1）当a?0时，f?x??x2为偶函数；当a?0时，f?x?既不是奇函数也不是偶函数.

（2）设x2?x1?2，f?x1??f?x2??x1?2ax1?x2?2ax2?x1?x2x1x2?x1x2?x1?x2??a?，

由x2?x1?2得x1x2?x1?x2??16，x1?x2?0,x1x2?0 要使f?x?在区间?2,???是增函数只需f?x1??f?x2??0， 即x1x2?x1?x2??a?0恒成立，则a?16。 另解（导数法）：f'?x??2x?f'?x??0恒成立，即2x?ax2ax2，要使f?x?在区间?2,???是增函数，只需当x?2时，

3?0，则a?2x??16,???恒成立，

故当a?16时，f?x?在区间?2,???是增函数。

第二部分 三年联考汇编 2009年联考题

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一、选择题

1.(2009年4月北京海淀区高三一模文)函数f(x)=2x的反函数y?f?1?x?的图象

是

（ ）

答案 A

2. (北京市朝阳区2009年4月高三一模理)下列函数中，在区间(1,??)上为增函数的

是

（ A．y??2x?1

B．y?x1?x

C．y??(x?1)2

D．y?log1(x?1)2

答案 B

3.（2009福建省）函数y?log2|x|的图象大致是 ( )

答案 C

4.（2009厦门集美中学）若y?loga(2?ax)在[0,1]上是减函数,则a的取值范围

是

( )

A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(2,??) 答案 C

5.（2009岳阳一中第四次月考）函数y?lg|x|x的图象大致是 ( 37

）)

答案 D 二、填空题

6.（2009泉州市）已知函数f(x)=??logx2x(x?0)?2,(x?0),若f(a)=2 .

1答案 -1或2 7.（2009厦门十中）定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个x1,x2?x1?x2?， 均有f?x1??f?x2??kx1?x2成立，则称函数f?x?在定义域D上满足利普希茨条件。若函数f?x??答案

12x?x?1?满足利普希茨条件，则常数k的最小值为_____。

8.（2009中学第六次月考）定义区间[x1,x2](x1?x2)的长度为x2?x1,已知函数

f(x)?|log12x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度的最大值与最小值

的差为 . 答案 3

9.(江西南昌新民外语学校09届高三第一次月考)函数f(x)?为 ． 答案 [3,??)

三、解答题

10．(江西师大附中2009届高三数学上学期期中) 已知定义域为R的函数f(x)?（1）求a,b的值；

22（2）若对任意的t?R，不等式f(t?2t)?f(2t?k)?0恒成立，求k的取值范围.

x?2?1log2(x?1)的定义域

?2?b2x?1x?a是奇函数.

解 （1） 因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)?0,即?1?b2?a1??1x?2?1?2?1??2. 又由f(1)??f(?1)知从而有f(x)?x?1，解得a?2 4?a1?a2?a

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?0,解得b?1

（2）解法一：由（1）知f(x)??2?1x?1x22?12?2由上式易知f(x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式

f(t?2t)?f(2t?k)?0等价于f(t?2t)??f(2t?k)?f(?2t?k).

22222??1?1x,

因f(x)是R上的减函数，由上式推得t2?2t??2t2?k. 即对一切t?R有3t2?2t?k?0,从而??4?12k?0,解得k??解法二：由（1）知f(x)?又由题设条件得即(22t213

?2?12?x?1x?222,

?1?2?0

2t?k2?222t?2t2?1?2?222t?kt?2t?12t?k?12?k?12?2)(?2?2t?kt?2t2?1)?(2t?2t?1?2)(?22?1)?0

13整理得23t?1，因底数2>1，故3t?2t?k?0

.

上式对一切t?R均成立，从而判别式??4?12k?0,解得k??14.（2009广东三校一模）设函数f?x???1?x??2ln?1?x?.

2(1)求f?x?的单调区间;

(2)若当x???1,e?1?时,(其中e?2.718?)不等式f?x??m恒成立,求实数m的

?e?取值范围;

(3)试讨论关于x的方程:f?x??x2?x?a在区间?0,2?上的根的个数. 解 （1）函数的定义域为??1,???,f??x??2??x?1????x?1??由f??x??0得x?0;

?1?2x?x?2?x?1?1?. 1分

2分

由f??x??0得?1?x?0, 3分 则增区间为?0,???,减区间为??1,0?. (2)令f??x??递增, 由f??12x?x?2?x?1 4分

?1????1,0?e?上递减,在0,e?1上

???0,得x?0,由(1)知f?x?在

6分

11?22 ?1??2?2,f?e?1??e?2,且e?2?2?2,

e?e?e 8分

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?1?22?x???1,e?1?时,f?x? 的最大值为e?2,故m?e?2时,不等式f?x??m?e?恒成立. 9分

(3)方程f?x??x2?x?a,即x?1?2ln?1?x??a.记g?x??x?1?2ln?1?x?,则

g??x??1?21?x?x?1x?1.由g??x??0得x?1;由g??x??0得?1?x?1.

所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增.

而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 10分 所以，当a＞1时，方程无解； 当3-2ln3＜a≤1时，方程有一个解， 当2-2ln2＜a≤a≤3-2ln3时，方程有两个解； 当a=2-2ln2时，方程有一个解；

当a＜2-2ln2时，方程无解. 13分 字上所述，a?(1,??)?(??,2?2ln2)时，方程无解；

a?(3?2ln3,1]或a=2-2ln2时，方程有唯一解；

时，方程有两个不等的解.

14分

a?(2?2ln2,3?2ln3]2007—2008年联考题

一、选择题

1.（2008年高考数学各校月考试题）若lga+lgb=0(其中a≠1，b≠1)，则函数f（x）=ax与x

g(x)=b的图象 （ ） A．关于直线y=x对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 答案 C

D．关于原点对称

12 解析 取满足lga?lgb?1的特殊值a?2，则b?可得答案C.

2.（2007届岳阳市一中高三数学能力题训练）已知a>1，则函数f（x）= loga x的图象与其反函数y=f-1（x）的图象 （ ） A.不可能有公共点 B.不可能只有一个公共点 C. 最多只有一个公共点 D.最多只有两个公共点 答案 D

3.（2007届高三数学二轮复习新型题专题训练）一次研究性课堂上，老师给出函数

f(x)?x1?|x|(x?R)，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：

甲：函数f(x)的值域为（－1，1）；乙：若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)； 丙：若规定

f1(x)?f(x),fn(x)?f(fn?1(x))，

fn(x)?x1?n|x|对任意n?N*恒成立.

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