2010届高考数学总复习：第二章 - 函数与基本初等函数I(4)

a?5?12x?(0,1)，函数f(x)?a在R上递减。由f(m)?f(n)得：m

47.(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间??8,8?上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则

x1?x2?x3?x4?_________.

答案 -8

解析 因为定义在R上的奇函数，满足f(x?4)??f(x),所以f(x?4)?f(?x),所以, 由f(x)为奇函数,所以函数图象关于直线x?2对称且f(0)?0,由f(x?4)??f(x)知

f(x?8)?f(x),所以函数是以8为周期的周期函数,又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,

所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间??8,8?上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1?x2?x3?x4由对称性知x1?x2??12x3?x4?4所以x1?x2?x3?x4??12?4??8

【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性, 对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题, 运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.

14.（2009四川卷文）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f:V?V,a?V，记a的象为f(a)。若映射f:V?V满足：对所有a、b?V及任意实数?,?都有

f(?a??b)??f(a)??f(b)，则f称为平面M上的线性变换。现有下列命题：

y f(x)=m (m>0) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x

①设f是平面M上的线性变换，a、b?V，则f(a?b)?f(a)?f(b)

②若e是平面M上的单位向量，对a?V,设f(a)?a?e，则f是平面M上的线性变换；

16

③对a?V,设f(a)??a，则f是平面M上的线性变换；

④设f是平面M上的线性变换，a?V，则对任意实数k均有f(ka)?kf(a)。 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 答案 ①③④

解析 ①：令????1，则f(a?b)?f(a)?f(b)故①是真命题 同理，④：令??k,??0，则f(ka)?kf(a)故④是真命题 ③：∵f(a)??a，则有f(b)??b

f(?a??b)??(?a??b)???(?a)???(?b)??f(a)??f(b)是线性变换，故③是

真命题

②：由f(a)?a?e，则有f(b)?b?e

f(?a??b)?(?a??b)?e???(a?e)???(b?e)?e??f(a)??f(b)?e ∵e是单位向量，e≠0，故②是假命题

【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新

颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。 48.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）

已知二次函数y?g(x)的导函数的图像与直线y?2x平行,且y?g(x)在x=－1处取得最小值m－1(m?0).设函数f(x)?g(x)x

(1)若曲线y?f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m的值 (2) k(k?R)如何取值时,函数y?f(x)?kx存在零点,并求出零点. 解 （1）设g?x??ax?bx?c，则g??x??2ax?b；

2 又g??x?的图像与直线y?2x平行 ?2a?2 a?1 又g?x?在x??1取极小值， ??2? ?g??1??a?b?c1g?x?xmxb2??1 ， b?2

?c?m，1? c?m；

f?x???x??2， 设P?xo,yo?

17

则PQ2?x0??y0?2?222?m?m222?x0??x0???2x0?2?2?22m?2

x0x0??2 ?22m2?2? 4 m??mx22；

（2）由y?f?x??kx??1?k?x?2?2?0，

得 ?1?k?x?2x?m?0 ?*? 当k?1时，方程?*?有一解x??m2，函数y?f?x??kx有一零点x??m21m； ，

当k?1时，方程?*?有二解???4?4m?1?k??0，若m?0，k?1? 函数y?f?x??kx有两个零点x??2?4?4m?1?k?2?1?k??2?1?1?m?1?k?k?1?；若m?0，

k?1?1m，函数y?f?x??kx有两个零点x?4?4m?1?k?2?1?k??1?1?m?1?k?k?1；

?k?? 当k?1时，方程?*?有一解???4?4m?1y?f?x??x?k有一零点x1k?10, k?1?1m, 函数

49.（2009浙江理）（本题满分14分）已知函数f(x)?x3?(k2?k?1)x2?5x?2，

g(x)?kx?kx?1，

22其中k?R．

（I）设函数p(x)?f(x)?g(x)．若p(x)在区间(0,3)上不单调，求k的取值范围； ．．．

?g(x),x?0, （II）设函数q(x)?? 是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一

f(x),x?0.?的非零实数x2（x2?x1），使得q?(x2)?q?(x1)成立？若存在，求k的值；若不存 在，请说明理由．

解 （I）因P(x)?f(x)?g(x)?x?(k?1)x?(k?5)?1，

p??x??3x?2(k?1)x?(k?5)，因p(x)在区间(0,3)上不单调，所以p??x??0在．．．．

232?0,3?上有实数解，且无重根，由p??x??0得k(2x?1)??(3x2?2x?5),

?k??(3x?2x?5)2x?12??3?910?t??1,7?，记2x?1?????，令t?2x?1,有4?2x?13?? 18

h(t)?t?9t ,则h?t?在?1,3?上单调递减，在?3,7?上单调递增，所以有h?t???6,10?，

92x?1??6,10?，得k???5,?2?，而当k??2时有p??x??0在?0,3?于是?2x?1??

上有两个相等的实根x?1，故舍去，所以k???5,?2?；

（II）当x?0时有q??x??f??x??3x?2(k?k?1)x?5；

22当x?0时有q??x??g??x??2kx?k，因为当k?0时不合题意，因此k?0，

2下面讨论k?0的情形，记A?(k,??)，B=?5,???（ⅰ）当x1?0时，q??x?在?0,???上单调递增，所以要使q??x2??q??x1?成立，只能x2?0且A?B，因此有k?5，（ⅱ）当x1?0时，q??x?在?0,???上单调递减，所以要使q??x2??q??x1?成立，只能x2?0且A?B，因此k?5，综合（ⅰ）（ⅱ）k?5；

当k?5时A=B，则?x1?0,q??x1??B?A，即?x2?0,使得q??x2??q??x1?成立，因为q??x?在?0,???上单调递增，所以x2的值是唯一的；

同理，?x1?0，即存在唯一的非零实数x2(x2?x1)，要使q??x2??q??x1?成立，所以k?5满足题意．

7.（2009江苏卷）(本小题满分16分) 设a为实数，函数f(x)?2x?(x?a)|x?a|. (1)若f(0)?1，求a的取值范围； (2)求f(x)的最小值； (3)设函数h(x)?f(x),x?(a,??)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)?1的．．．．解集. 解 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分

?a?0?a??1 （1）若f(0)?1，则?a|a|?1??2?a?122（2）当x?a时，f(x)?3x?2ax?a,f(x)min2?f(a),a?0?2a,a?0????a??2a2,a?0?f(),a?0?3??32

19

当x?a时，f(x)?x?2ax?a,f(x)min??2a2,a?0? ??2a2,a?0??3222?f(?a),a?0???2a,a?0 ????2??f(a),a?0?2a,a?0 综上f(x)min（3）x?(a,??)时，h(x)?1得3x2?2ax?a2?1?0，

??4a?12(a?1)?12?8a

222当a??6262或a?662时，??0,x?(a,??)；

3?2a32当??a??a?(x?时，△>0,得：??2?x?a?)(x?a?3?2a32)?0

讨论得：当a?(62222222,62)时，解集为(a,??);

当a?(?,?22)时，解集为(a,a?3?2a32]?[a?3?2a32,??);

当a?[?,]时，解集为[a?3?2a32,??).

50.（2009年上海卷理）已知函数y?f(x)的反函数。定义：若对给定的实数a(a?0)，函数y?f(x?a)与y?fy?f(ax)与y?f?1?1；若函数(x?a)互为反函数，则称y?f(x)满足“a和性质”

。 (ax)互为反函数，则称y?f(x)满足“a积性质”

2（1） 判断函数g(x)?x?1(x?0)是否满足“1和性质”，并说明理由； （2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；

（3） 设函数y?f(x)(x?0)对任何a?0，满足“a积性质”。求y?f(x)的表达式。

?1解 （1）函数g(x)?x?1(x?0)的反函数是g(x)?2x?1(x?1)

?g?1(x?1)?x(x?0)

而g(x?1)?(x?1)?1(x??1),其反函数为y?故函数g(x)?x?1(x?0)不满足“1和性质”

22x?1?1(x?1)

20

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库2010届高考数学总复习：第二章 - 函数与基本初等函数I(4)在线全文阅读。