湖大版大学物理第17章(4)

蜒?H?dl??LLHdl?H ?dl?2?rH．

L环路所包围的面积为S` = πr2，右边的位移电流为

Id??dS`?qm?(cos?t)?r2． S因此，两极板间磁场强度的分布为

H?qm?rcos?t， 2S磁感应强度的分布为

B??0H??0qm?r2Scos?t．

17．26 如图所示，电荷+q以速度v向O点运动（电荷到O点的距离以x表示）．以O点O圆心作一半径为a的圆，圆面与v垂直．试计算通过此圆面

r 的位移电流． a θ [解答]在圆面上取一半径为R的环，其面积为 a q v x O dS = 2πRdR，

环上任一面元的法线方向与场强方向之间的夹角为φ，场强大小为 E = q/4πε0r2，

图17.26

其中r = (x2 + R2)1/2，通过环的电通量为

dΦe = E·dS = EdScosφ，

其中cosφ = x/r，所以得

d?e?qxRdRqxRdR?，

2?0r32?0(x2?R2)3/2a积分得电通量为

qxd(x2?R2) ?e?223/2?2?002(x?R)?q(1?2?0xx?a22)．

由于电位移强度D和电场强度E的关系为 D = ε0E， 所以电位移通量和电通量之间的关系为

Φd = ε0Φe，

因此点电荷在圆面上通过的电位移通量为

?d?q(1?2xx?a22)．

当电荷q以速度v向O运动时，可认为圆面以dx/dt = -v向电荷运动，因此，通过此圆面的位移电流为

Id?d?d dt?qx2?a2(?v)?x2(?v)/x2?a2?[] 222x?aqa2v． ?223/22(x?a)

17．27 在真空中，一平面电磁波的电场为

xm-1)． Ey?0.3cos[2??107(t?)](V·cr v q θ φ r x 求：

（1）电磁波的波长和频率； （2）传播方向； O R （3）磁场的大小和方向．

[解答]（1）电磁波的角频率为

E ω = 2π×107(rad·s-1)， 频率为 ν = ω/2π = 107(Hz)． 波长为 λ = cT = c/ν = 3×108/107 = 30(m)．

（2）电磁波的传播方向为x方向． （3）磁场的方向在z方向，由于

?0Ey??0Hz，

所以磁场强度为

Hz???0??1Ey?00Ey?Ey

?c??0001Ey 8?73?10?4??101x?cos[2??107(t?)]． 400?cBz??0Hz?1Ey c磁感应强度为

x?10?9cos[2??107(t?)]．

c

17．28 一个长直螺线管，每单位长度有n匝线圈，载有电流i，设i随时间增加，di/dt>0，设螺线管横截面为圆形，求：

（1）在螺线管内距轴线为r处某点的涡旋电场； （2）在该点处坡印廷矢量的大小和方向．

[解答]（1）长直螺线管通有电流i时，在轴线上产生的磁感应强度为 B = μ0ni， r i i E 磁场是均匀S 的，也是轴对称的．

以轴线上某点为圆心，以r为半径作一环路，环路的o B dl 周长为 C = 2πr，

面积为 S=πr2， 根据电场的环路定理

?BE?dl????L?S?t?dS，

可得 2πrE = -πr2dB/dt， 因此涡旋电场为

E???0nrdi2dt，

负号表示涡旋电场的方向与环路的环绕方向相反．

（2）管中磁场强度为H = B/μ0 = ni． 坡印廷矢量为S = E×H，其大小为

S?EH??0n2rdi2idt．

当di/dt > 0时，S的方向沿径向指向轴线；当di/dt < 0时，S的方向沿径向向外．

17．29 有一氦氖激光管所发射的激光功率为10×10-3W，设激光为圆柱形光束，圆柱横截面直径为2.0×10-3m，试求激光的最大电场强度和最大磁感应强度为多少？

[解答]圆柱面积为 S = πr2， 坡印廷矢量的平均值为 S?P/S．

设最大电场强度为E0和最大磁感应强度为B0，可以证明：S?由于?0E0?1E0H0． 2?0H0，可得

S??0?0?c212， E0E0?E0?0E02?022?0?02S?c?02P c?0S所以 E0?m-1）， ?1032.4?1.549?103(V·

[取ε0 = 1/4πk = 1/(4π×9×109)]． 同理， H0?2S?c?02P， c?0S磁感应强度的最大值为

B0??0H0?2?0S?c2?0P cS?45?10?6?5.16?10?6(T)， 3（取μ0 = 4π×10-7）．

17．30 一平行板电容器由相距为L的两个半径为a的圆形导体板构成，略去边缘效应．证明：在电容器充电时，流入电容器的能量速率等于其静电能增加的速率．

[证明]电容器的面积为 S` = πa2， 电容器充了电量q时，面电荷密度为

L ζ = q/S`，

S` 不计边缘效应，边缘的场强为 a H S E=ζ/ε0=q/S`ε0．

E 在边缘做一个半径为a的环路，其周长为2πa，面积为S`` S`．根据环路定理

??H?dl?I?ILd，

左边为2πaH；右边的I = 0，Id = dq/dt，所以磁场强度为

H?(Id?dq．

2?adtd?ddd??D?dS???0EdS dtdtSdtSdEd?dq) ??a2?0??a2?dtdtdt坡印廷矢量为S = E×H，其大小为

S?EH?qdq，

2?aS`?0dt方向垂直环路指向轴线．

电容器侧面的表面积为S`` = 2πaL， 流入电容器的能量速率为

dWLqdq． ?SS``?dt?0S`dt当电容器带电q时，根据电容公式C = q/U，两端的电压为U = q/C，所带的静电能为

CU2q2， W`??22C静电能的增加速率为

dW`qdq． ?dtCdt?S`由于电容C?0，所以，流入电容器的能量速率等于其静电能增加的速率．

L

17．31 半径为a的长直导体载有沿轴线方向的电流I，I均匀地分布在横截面上．证明： （1）在导线表面，坡印廷矢量S的方向垂直于导线表面向内； （2）导体内消耗的焦耳热等于S传递来的能量．

S S S S S S [证明]（1）导体的横截面积为

L I I S` I a H S I S S E S S S S a 图S``17.31

S` = πa2， 电流密度为

δ = I/S`．

导体的电阻率为ρ，电场强度大小为E = ρδ， 方向与电流的流向相同．

在导体表面做一个半径为a的环路，其周长为C = 2πa．根据环路定理

??H?dl?I?ILd，

左边为2πaH；右边的Id = 0，所以磁场强度为 H = I/2πa．

由于电场强度E的方向沿着轴向，磁场强度方向沿着环路，根据S = E×H，可知：在导线表面，坡印廷矢量S的方向垂直于导线表面向内．

（2）在导体表面的坡印廷矢量的大小为

III2， S?EH????S`2?a2?aS`对于长为L的导体来说，其表面积为 S`` = 2πaL，

单位时间内传递来的能量为

LI2， P?SS``??S`其中R??L正好是这段导体的电阻，而I2R是导体消耗焦耳热的功率，所以导体内消耗S`的焦耳热等于S传递来的能量．

17．32 如图所示的电路，在电键K接通后，电池中的稳恒电流为10A，（线圈的电阻R = 0）．

（1）说明为什么当电键断开时，L-C电路就发生振荡电流； （2）求振荡电流的频率；

R ε （3）求电容器两端的最大电势差；

K C=8μF （4）若线圈的电阻R≠0，试讨论能否发生振荡？如能振荡，振

荡频率为多少？

[解答]（1）当电键K接通后，由于电池中的电流是稳恒的，电

L=2H,R=0 流不通过电容器，只通过电感L．K断开时，L中的电流发生了变图17.32 化，就会产生感应生动势，给电容器C充电；电容器充完电之后又

放电．这个过程不断进行，就产生振荡电流．

（2）振荡电流的频率为

??12?LC ?12?2?8?10?6103=37.79(Hz)． ?8?（3）电量的方程为 q = qmcosωt，

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