湖大版大学物理第17章

第十七章 电磁场

P204．

17．1 一条铜棒处和棒垂直的轴OO`直向上的匀强磁场棒两端A、B的电势[解答]设想一个半度为ω，经过时间dt

O` A L/5 O 图17.1 ω B B 长为L = 0.5m，水平放置，可绕距离A端为L/5在水平面内旋转，每秒转动一周．铜棒置于竖中，如图所示，磁感应强度B = 1.0×10-4T．求铜差，何端电势高．

径为R的金属棒绕一端做匀速圆周运动，角速后转过的角度为

dθ = ωdt，

扫过的面积为 L ω 2

dS = Rdθ/2， l dθ 切割的磁通量为 o R dΦ = BdS = BR2dθ/2，

动生电动势的大小为 ε = dΦ/dt = ωBR2/2．

根据右手螺旋法则，圆周上端点的电势高．

AO和BO段的动生电动势大小分别为

?AO??BL， ()?255022?BL2?BO16?BL2． ?()?2550?B4L由于BO > AO，所以B端的电势比A端更高，A和B端的电势差为

???BO??AO3?BL2 ?103?BL23?2??1.0?10?4(0.5)2 ??1010= 4.71×10-4(V)．

[讨论]如果棒上两点到o的距离分别为L和l，则两点间的电势差为

???B(L?l)22

??Bl22??B(L2?2Ll)2．

17．2 一长直载流导线电流强度为I，铜棒AB长为L，A端与直导线的距离为xA，AB与直导线的夹角为θ，以水平速度v向右运动．求AB棒的

I xA A 动生电动势为多少，何端电势高？

l θ [解答]在棒上长为l处取一线元dl，在垂直于速度方向上的

v r dl 长度为

dl⊥ = dlcosθ；

o 图17.2

B x 线元到直线之间的距离为

r = xA + lsinθ，

直线电流在线元处产生的磁感应强度为

B??0I?0I． ?2?r2?(xA?lsin?)由于B，v和dl⊥相互垂直，线元上动生电动势的大小为

d??Bvdl??棒的动生电动势为

?0Ivcos?dl，

2?(xA?lsin?)?Ivcos???02?dl ?x?lsin?0AL?0Ivcos?Ld(xA?lsin?) ??2?sin?0xA?lsin???0Ivx?Lsin?， cot?lnA2?xAA端的电势高．

[讨论]（1）当θ→π/2时，cotθ = cosθ/sinθ→0，所以ε→0，就是说：当棒不切割磁力线时，棒中不产生电动势．

（2）当θ→0时，由于

lnxA?Lsin?Lsin?Lsin??IvL?ln(1?)?，所以??0，这就是棒垂直割磁力线时所

xAxAxA2?xA产生电动势．

17．3 如图所示，平行导轨上放置一金属杆AB，质量为m，长为L．在导轨上的端接有电阻R．匀强磁场B垂直导轨平面向里．当AB杆以

A 初速度v0向运B 动时，求：

（1）AB杆能够移动的距离； v0 R （2）在移动过程中电阻R上放出的焦耳热为多少？ [分析]当杆运动时会产生动生电动势，在电路中形成B 电流；这时杆又变成通电导体，所受的安培力与速度方向相图17.3 反，所以杆将做减速运动．随着杆的速度变小，动生电动势也会变小，因而电流也会变小，所受的安培力也会变小，所以杆做加速度不断减小的减速运动，最后缓慢地停下来．

[解答]（1）方法一：速度法．设杆运动时间t时的速度为v，则动生电动势为

ε = BLv，

电流为 I = ε/R， 所受的安培力的大小为

F = ILB = εLB/R = (BL)2v/R，

方向与速度方向相反．

取速度的方向为正，根据牛顿第二定律F = ma得速度的微分方程为

(BL)2vdv??m，

Rdtdv(BL)2即： ??dt

vmR积分得方程的通解为

(BL)2lnv??t?C1．

mR根据初始条件，当t = 0时，v = v0，可得常量C1 = lnv0．方程的特解为

(BL)2v?v0exp[?t]．

mR 由于v = dx/dt，可得位移的微分方程

(BL)2dx?v0exp[?t]dt，

mR方程的通解为

(BL)2x?v0?exp[?t]dt

mR?mRv0(BL)2?exp[?t]?C2， (BL)2mR当t = 0时，x = 0，所以常量为C2?方程的特解为

mRv0． (BL)2mRv0(BL)2x?{1?exp[?t]}．

(BL)2mR当时间t趋于无穷大时，杆运动的距离为x?方法二：冲量法．由F = -(BL)2v/R，得

mRv0． (BL)2(BL)2?dx?Fdt，

R右边积分得

?Fdt?0?mvt0，

即：杆所受的冲量等于杆的动量的变化量．

左边积分后，可得x?mv0R． (BL)2（2）杆在移动过程中产生的焦耳热元为

?2(BLv)2dQ?IRdt?dt?dt

RR2(BLv0)22(BL)2?exp[?t]dt

RmR整个运动过程中产生的焦耳热为

(BLv0)22(BL)2Q?exp[?t]dt ?RmR02?mv02(BL)2?exp[?t]2mR?2mv0， ?2?0即：焦耳热是杆的动能转化而来的．

17．4 如图所示，质量为m、长度为L的金属棒AB从静止开始沿倾斜的绝缘框架滑下．磁感应强度B的方向竖直向上（忽略棒AB与框架之间的摩擦），求棒AB的动生电动势．若棒AB沿光滑的金属框架滑下，设金属棒与金属框组成的回路的电阻R为常量，棒AB的动生电动势又为多少？

[解答]（1）棒的加速度为

B A a = gsinθ，

经过时间t，棒的速D 度为 v = at = (gsinθ)t， B 而切割磁力线的速度为 v⊥ = vcosθ， θ 所以棒的动生电动C 势为

图17.4 ε = BLv⊥ = BLg(sinθcosθ)t = BLg(sin2θ)t/2．

（2）设棒运动时间t时的速度为v，则动生电动势为 ε = BLvcosθ， 电流为 I = ε/R， 所受的安培力的大小为

F = ILB = εLB/R = (BL)2vcosθ/R，

其方向水平向右．安培力沿着斜面向上的分量为植 F` = Fcosθ， 其方向与速度的方向相反．

取速度的方向为正，根据牛顿第二定律ΣF = ma得速度的微分方程为

(BLcos?)2vdvmgsin???m，

Rdt即 dt?mRdv，

mgRsin??(BLcos?)2v方程可化为

?mRd[mgRsin??(BLcos?)2v]． dt?22(BLcos?)mgRsin??(BLcos?)v积分得方程的通解为

t??mRln[mgRsin??(BLcos?)2v]?C． 2(BLcos?)根据初始条件，当t = 0时，v = 0，可得常量

C?mRln(mgRsin?)，

(BLcos?)2方程的特解为

?mR[mgRsin??(BLcos?)2v]， t?ln2(BLcos?)mgRsin?棒的速度为

mgRsin?(BLcos?)2v?{1?exp[?t]}，

(BLcos?)2mR动生电动势为

??BLvcos?

mgR(BLcos?)2?tan?{1?exp[?t]}． BLmR[讨论]当时间t趋于无穷大时，最终速度为 v?mgRsin?， 2(BLcos?)mgRtan?， BLmg最终电流为 I?tan?．

BL最终电动势为 ??另外，棒最终做匀速运动，重力做功的功率等于感生电流做功的功率，重力做功的功率为 P = mgsinθv， 感生电流做功的功率为

(BLvcos?)2， P?IR??RR2?2两式联立也可得v?mgRsin?， 2(BLcos?)由此可以求出最终电动势和电流．

[注意]只有当物体做匀速运动时，重力所做的功才等于电流所做的功，否则，重力还有一部分功转换成物体的动能．

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