湖大版大学物理第17章(2)

17．5 电磁涡流制动器是一个电导率为ζ，厚度为t的圆盘，此盘绕通过其中心的垂直轴旋转，且有一覆盖小面积为a2的均匀磁场B垂直于圆盘，小面积

B 离轴r（r>>a）．当圆盘角速度为ω时，试证此圆盘受到一阻碍其转ω a r a t 动的磁力矩，其大小近似地表达为M≈B2a2r2ωζt．

[解答]电导率是电阻率的倒数ζ = 1/ρ．不妨将圆盘与磁场相对

图17.5

的部分当成长、宽和高分别为a、a和t的小导体，其横截面积为 S = at，

电流将从横截面中流过，长度为a，因此其电阻为

R??l1． ?S?t宽为a的边扫过磁场中，速度大小为 v = rω，

产生的感生电动势为 ε = Bav = Barω，

圆盘其他部分的电阻远小于小导体的电阻，因此通过小导体的电流强度为

I = ε/R = Barωζt，

所受的安培力为

F = IaB = B2a2rωζt，

其方向与速度方向相反．产生的磁力矩为

M = Fr = B2a2r2ωζt．

其方向与角速度的方向相反．

17．6 如图，有一弯成θ角的金属架COD放在磁场中，磁感应强度B的方向垂直于金属架COD所在平面，一导体杆MN垂直于OD边，并在金属架上以恒定速度v向右滑动，v与MN垂直，设t = 0时，x = 0，求下列两情形，框架内的感应电动势εi．

（1）磁场分布均匀，且B不随时间改变； （2）非均匀的交变磁场B = Kxcosωt． [解答]（1）经过时间t，导体杆前进的距离为

M C x = vt， B 杆的有效长度为 l = xtanθ = v(tanθ)t，

v 动生电动势为 θ εi = Blv = Bv2(tanθ)t．

O （2）导体杆扫过的三角形的面积为 N D x 222

S = xl/2 = xtanθ/2 = vttanθ/2， 图17.6

通过该面的磁通量为

a a S I t

kx3tan?kv3tan?3??BS?cos?t ?tcos?t

22感应电动势为

?i??d? dtkv3tan?2??(3tcos?t??t3sin?t)，

2kv3tan?2即：?i?t(?tsin?t?3cos?t)．

2B r x I o R

17．7 如图所示的回路，磁感应强度B垂直于回路平面向里，磁通量图17.8 按下述规律变化Φ = 3t2 + 2t + 1，式中Φ的单位为毫韦伯，t的单位为秒．求：

（1）在t = 2s时回路中的感生电动势为多少？ （2）电阻上的电流方向如何？

B [解答]（1）将磁通量的单位化为韦伯得

Φ = (3t2 + 2t + 1)/103，

感生电动势大小为

ε = |dΦ/dt| = 2(3t + 1)/103．

R t = 2s时的感生电动势为1.4×10-2(V)．

图17.7 （2）由于原磁场在增加，根据楞次定律，感应电流所产生的

磁场的方向与原磁场的方向相反，所以在线圈中感生电流的方向是逆时针的，从电阻的左边流向右边．

17．8 如图所示的两个同轴圆形导体线圈，小线圈在大线圈上面．两线圈的距离为x，设x远大于圆半径R．大线圈中通有电流I时，若半径为r的小线圈中的磁场可看作是均匀的，且以速率v = dx/dt运动．求x = NR时，小线圈中的感应电动势为多少？感应电流的方向如何？

[解答]环电流在轴线上产生的磁感应强度为

B??0IR22(x?R)223/2，

当x>>R时，磁感应强度为 B??0IR22x3．

小线圈的面积为S = πr2，通过的磁通量为

??BS???0IR2r22x3，

当小线圈运动时，感应电动势为

d?3??0IR2r2v， ????4dt2x当x = NR时，感应电动势为

3??0Ir2v． ??422NR 感应电流的磁场与原磁场的方向相同，感应电流的方向与原电流的环绕方向相同．

17．9 如图所示，匀强磁场B与矩形导线回路的法线n成θ = 60°角，B = kt（k为大于零的常数）．长为L的导体杆AB以匀速v向右平动，求回路中t时刻的感应电动势的大小和方向（设t = 0时，x = 0）．

n B A [解答]经过时间t，导体杆运动的距离为

θ L v D 图17.9

B x = vt，

扫过的面积为 S = Lx = Lvt， 通过此面积的磁通量为 Φ = B·S = BScosθ = Lvkt2/2． 感应电动势的大小为

ε = dΦ/dt = Lvkt．

由于回路中磁通量在增加，而感应电流的磁通量阻碍原磁通量增加，其磁场与原磁场的方向相反，所以感应电动势的方向是顺时针的．

17．10 长为b，宽为a的矩形线圈ABCD与无限长直截流导线共面，且线圈的长边平行于长直导线，线圈以速度v向右平动，t时刻基AD边距离长直导线为x；且长直导线中的电流按I = I0cosωt规律随时间变化，如图所示．求回路中的电动势ε．

[解答]电流I在r处产生的磁感应强度为 A B ?IB B?0，

dr2?rrv b穿过面积元dS = bdr的磁通量为

x 穿过矩形线圈

D a 图17.10

C d??BdS?ABCD的磁通量为

?0Ibdr， 2?r?0Ibx?a1?0Ibx?a??dr?ln()， ?2?xr2?x回路中的电动势为

???d? dt???0bx?adI11dx[ln()?I(?)] 2?xdtx?axdt??0I0bx?aavcos?t[?ln()sin?t?]． 2?xx(x?a) 显然，第一项是由于磁场变化产生的感生电动势，第二项是由于线圈运动产生的动生电动势． *

17．11 如图，一个矩形的金属线框，边长分别为a和b（b足够长）．金属线框的质量为m，自感系数为L，忽略电阻．线框的长边与x轴平行，它以速度v0沿x轴的方向从磁场外进入磁感应强度为B0的均匀磁场中，B0的方向垂直矩y B0 形线框平面．求矩形线框在磁场中速度与时间的关系式

bv0 v = v(t)和沿x轴方向移动的距离与时间的关系式x = ax(t)．

[解答]由于b边很长，所以线框只有右边在做切割磁力线的运o x 动．当线框速度为v时，产生的动生电动势为 ε = B0av．

图17.11

当线框中的电流为i时，产生的自感电动势的大小为 ?L?L根据欧姆定律得 ε + εL = iR， 由于不计电阻，所以有

di． dtB0av?Ldi?0． ① dt右边所受的力为 F = iaB0， 根据牛顿第二定律得

iaB0?mdv， dtdid2v微分得 aB0?m2， ②

dtdt联立①和②式得微分方程

d2v(aB0)2?v?0， dt2mL这是简谐振动的微分方程，其通解为

v?AcosaB0mLt?BsinaB0mLt．

当t = 0时，v = v0，所以A = v0． 加速度

at = dv/dt

?aB0mL(?AsinaB0mLt?BcosaB0mLt)，

当t = 0时，at = 0，所以B = 0．

速度方程为

v?v0cosaB0t． mL由于v = dx/dt，所以 x?vdt?v0cos??aB0mL ttd?v0aB0mLsint?C． aB0mL当t = 0时，x = 0，所以C = 0，所以位移方程为

x?v0

aB0mLsint． aB0mL17．12 如图所示的圆面积内，匀强磁场B的方向垂直于圆面积向里，圆半径R = 12cm，dB/dt = 10-2T·s-1．求图中a、b、c三点的涡旋电场为多少（b为圆心）？设ab = 10cm，bc = 15cm． a B [解答]（1）当点在磁场之中时，以b为圆心，以r为半径作

r R b 一圆形环中，其周长为

C = 2πr，

面积为 S = πr2．

r c 取环路的逆时针方向为正，根据右手螺旋法则，面积的法向方向

图7.12 垂直纸面向外。

根据安培环路定理

??Ek?dl???L?B?dS， S?t由于磁场增加，其变化率的方向与磁场方向相同，而感应电流的磁场与磁场增加的方向的方向相反，即垂直纸面向里，根据右手螺旋法则，涡旋电场的方向与环路方向相同，所以左边等于

蜒?ELk?dl??LEkdl?Ek ?dl?Ek2?r．

L而磁感应强度的方向与面积的法向方向相反，所以右边等于

???BdBdB2?dS?dS??r． S?tdt?SdtrdB． 2dt因此涡旋电场为 Ek?对于a点，由于r = 0.1m，所以

Ek = 0.1×0.01/2 = 5×10-4(V·m-1)． 对于b点，由于r = 0，所以Ek = 0．

（2）当点在磁场之外时，以b为圆心，以r为半径作一圆形环路．根据安培环路定理

??ELk?dl????B?dS， S?t左边的积分仍然为Ek2πr．由于半径R之外的磁感应强度及其变化率为零，所以右边的大小为πR2dB/dt，因此涡旋电场为

R2dB． Ek?2rdt对于c点，由于r = 0.15m，R = 0.12m，所以 Ek = (0.12)2×0.01/2×0.15 = 4.8×10-4(V·m-1）． 17．13 两个共轴的导体圆筒称为电缆，其内、外半径分别为r1和r2，

r2 设电流由内筒流入，外筒流出，求长为l的一段电缆的自感系数（提示：o r1 按定义L = NΦ/I，本题中NΦ是图中阴影部分面积的磁通量）．

[解答]在内外半径之l 间，磁感应强度的大小为 B = I I μ0I/2πr，

图17.13

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