2013中考数学综合题训练(7)

(3)连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由． (3分)

【答案】解：(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y?a(x?1)(x?5)，

4， 544224416x?4?(x?3)2?， ∴y?(x?1)(x?5)?x?55555 把点A(0，4)代入上式得：a? ∴抛物线的对称轴是：x?3． (2)由已知，可求得P(6，4)．

提示：由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO＝4、OM

＝3，又知点P的坐标中x?5，所以，MP>2,AP>2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt△AOM中，AM?OA2?OM2?42?32?5，

因为抛物线对称轴过点M，所以在抛物线x?5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM＝5，此时点P横坐标为6，即AP＝6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立， 即P(6，4)．

⑶法一：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大． 设N点的横坐标为t，此时点N(t,4224t?t?4)(0?t?5)，过点N作55NG∥y轴交AC于G；由点A(0，4)和点C(5，0)可求出直线AC的解析式

444x?4；把x?t代入得：y??t?4，则G(t,?t?4)， 55544224t?4)， 此时：NG＝?t?4－(t?5554220t． ＝?t?55114220525t)?5??2t2?10t??2(t?)2?∴S?ACN?NG?OC?(?t?

225522525∴当t?时，△CAN面积的最大值为，

22554224t?4??3，∴由t?，得：y?t?N(， －3)．

2255为：y??法二：提示：过点N作x轴的平行线交y轴于点E，作CF⊥EN于点F，则S?ANC?S梯形AEFC?S?AEN?S?NFC (再设出点N的坐标，同样可求,余下过程略)

31．如图，已知二次函数y??x2?bx?c的图象经过A（?2，?1），B（0,7）两点．

- 31 -

⑴求该抛物线的解析式及对称轴； ⑵当x为何值时，y?0？

⑶在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．

【答案】解：⑴把A（?2，?1），B（0,7）两点的坐标代入y??x2?bx?c，得 ??4?2b?c??1?b?2 解得 ??c?7c?7??所以，该抛物线的解析式为y??x2?2x?7，

又因为y??x2?2x?7??(x?1)2?8，所以对称轴为直线x?1． ⑵当函数值y?0时，?x2?2x?7?0的解为x?1?22， 结合图象，容易知道1?22?x?1?22时，y?0． ⑶当矩形CDEF为正方形时，设C点的坐标为（m，n）， 则n??m2?2m?7，即CF??m2?2m?7

（第24题）

因为C，D两点的纵坐标相等，所以C，D两点关于对称轴x?1对称，设点D的横坐标为p，则1?m?p?1，所以p?2?m，所以CD=(2?m)?m?2?2m

因为CD=CF，所以2?2m??m2?2m?7，整理，得m2?4m?5?0，解得m??1或5． 因为点C在对称轴的左侧，所以m只能取?1． 当m??1时，n??m2?2m?7=?(?1)2?2?(?1)?7=4 于是，得点C的坐标为（?1，4）．

32.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角形ABC放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0,2），点C（1,0），如图所示；抛物线

y?ax2?ax?2经过点B。

（1） （2）

求点B的坐标； 求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ΔACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所以点P的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D， ∵∠BCD+∠ACO=90° ，∠ACO+∠OAC =90°；

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∴∠BCD=∠CAO； 又∵∠BDC=∠COA=90°；CB=AC，

∴ △BDC≌△CAO=90°，∴BD=OC=1，CD=OA=2；∴点B的坐标为(3,1) （2）抛物线y?ax2?ax?2经过点B(3,1)，则得1?9a?3a?2 解得a?1，所以抛物线的解析式为2y?121x?x?2 22（3）假设存在点P，似的△ACP是直角三角形:

①若以AC为直角边，点C为直角顶点；则延长BC至点P1 使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1）。

∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD， ∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MCP1≌△BCD ∴ CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（-1，-1）；经检验点P1（-1，-1）在抛物线为y?121x?x?2上； 22②CA，且使得若以AC为直角边， 点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥

AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2）。同△CAO；∴NP2=OA=2，AN=OC=1，1）理可得△AP2N≌可求得点P2（-2，，；经检验点P2（-2，1）也在抛物线y?

③CA，且使得若以AC为直角边， 点A为直角顶点；则过点A作AP3⊥

AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3）△CAO；∴HP3=OA=2，AH=OC=1，3）同理可得△AP3H≌可求得点P（，；32，经检验点P3（2，3）不抛物线y?121x?x?2上； 22121x?x?2上； 22故符合条件的点有P1（-1，-1），P2（-2，1）两个。

33.如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3) ，把直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m)，与x轴、y 轴分别交于C、D两点 (1）求 m的值；

( 2 ）求过 A、B、D 三点的抛物线的解析式；

( 3 ）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点 E ，使四边形 OECD 的面积S1，是四边形OACD 面积S2?若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由． 3k【答案】⑴设反比例函数的解析式为：y?，把

x的

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x?3,y?3代人解析式中求得k?9.

当x?6时，y?933?，所以m?； 622⑵设直线OA的解析式为yOA?k1x，把

x?3,y?3代人解析式中求得k1?1，则有yOA?x，

设直线BD的解析式为yBD?x?b，把x?6,y?3 2代人解析式中求得b??4.5，则有yBD?x?4.5， 所以B（6,1.5）、D（0，－4.5）

设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c由题意知

?32a?3b?c?3?a??0.5?2?6a?6b?c?1.5解得?b?4 ??c??4.5?c??4.5??所以y??0.5x2?4x?4.5

⑶由yBD?x?4.5求出C（4.5,0），四边形OACD 面积S?S?OAC?S?OCD=四边形 OECD 的面积S1?11135?3?4.5??4.5?4.5?， 2282213545S??? 3384经分析点E在x轴的上方，四边形 OECD 的面积S1?S?OCE?S?OCD

4519??4.5?4.5? 42819所以?OC?h?，求出h?0.5即点E的纵坐标是0.5，

28则S?OCE?把y?0.5代人y??0.5x2?4x?4.5中得出x?4?6， 所以E(4?6,11)或E(4?6,). 2234.如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1， OC=4，抛物线y?x?bx?c经过A，B两点，抛物线的顶点为D． （1）求b,c的值；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线 交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上

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2

是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的 坐标；若不存在，说明理由. yB

AC Ox

D26题图【答案】解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）------------1分∵二次函数y?x2?bx?c的图像经过点A（-1，0）B(4,5)

∴??1?b?c?0?16?4b?c?5 ------------2分

解得：b=-2 c=-3 ------------3分 （2如２６题图：∵直线AB经过点A（-1，0） B(4,5) ∴直线AB的解析式为：y=x+1 ∵二次函数y?x2?2x?3

∴设点E(t， t+1),则F（t，t2?2t?3） ------------4分 ∴EF= (t?1)?(t2?2t?3) ------------5分 =?(t?3)2?2524 ∴当t?32时，EF的最大值=254 ∴点E的坐标为（352，2） ------------------------6分

（3）①如２６题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形ＥＢＦＤ． 可求出点F的坐标（

32，?154）,点D的坐标为（1，-4） S四边行EBFD = S?BEF + S?DEF

=

125312532?4(4?2)?2?4(2?1) =758 -----------------------------------9分

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yBACOxD26题备用图

２６题备用图

②如２６题备用图：ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,m?2m?3) 则有：m?2m?3?2252－262?26 解得:m1?,m2? 222∴p1(2－2652?265,), p2(,) 22222ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n?2n?3）

n?则有：n2?2n?3??154 解得：1综上所述：所有点P的坐标：p1(13115（，－） ，n2?（与点F重合，舍去）∴P 322241152－2652?265（，－）（. 能使△EFP组成以EF,)，p2(,)P3242222为直角边的直角三角形．------------------------------------12分

35.如图15，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒一个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y?x2?bx?c经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，-5），D（4，0）. (1)求c，b（用t的代数式表示）；

（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB,CD交于点M,N.

①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值； ②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，s=

21； 8（3）在矩形ABCD内部（不含边界），把横纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围。 【答案】（1）C=0,b=-t

（2）①不变。当x=1时，y=1-t，故M(1，1-t)，∵tan∠AMP=1，∴∠AMP=45°。 ②S=S?DPN?S梯形NDAM?S?PAM

AO-11DPNMBC1?t?4??4t?16??1??4t?16???t?1???3?1?t?1??t?1? 2223215t?6 =t?2232152119t?6=，得t1?，t2? 解t?2282219∵4＜t＜5，∴t1?舍去，∴t=

22711（3）＜t＜

23=

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