2013中考数学综合题训练(6)

①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；

②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.

备用图

【答案】解：(1)y=3x2-3.

(2)①令-3x2+3=0，得x1=-1,x2=1,则抛物线c1与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（1，0）.∴A（-1-m，0），B（1+m,0）.

111AE时，如图①，（-1+m）-（-1-m）=[(1+m)-(-1-m)], ∴m= 33211当AB=AE时，如图②，（1-m）-（-1-m）=[(1+m)-(-1-m)], ∴m=2.

33当AD=

∴当m=

1或2时，B，D是线段AE的三等分点. 2②存在.理由：连接AN、NE、EM、MA.依题意可得：M（-m，-3）.即M，N关于原点O对称，∴OM=ON.∵A（-1-m，0），E（1+m，0），∴A，E关于原点O对称，∴OA=OE，∴四边形ANEM为平行四边形.要使平行四边形ANEM为矩形，必需满足OM=OA，即m2+(3）2=[-(-1-m)]2, ∴m=1. ∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形.

27如图，已知二次函数y= -x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0)，与y轴交于点B. (1)求此二次函数关系式和点B的坐标；

(2)在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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【答案】解：（1）∵二次函数y= -x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0)， ∴0= -42+4b+3， 解得b=

13， 413x+3， 47,0)，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形.理由如下： 8∴此二次函数关系式为：y= -x2+点B的坐标为B(0,3).

（2）在x轴的正半轴上是否存在点P(

设点P(x，0)，x＞0，则根据下图和已知条件可得 x2+ 32=(4- x)2， 解得x=

7， 87,0). 87,0)，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形. 8∴点P的坐标为P(

即，在x轴的正半轴上是否存在点P(

28.如图1，抛物线y=ax2＋bx＋3经过A（－3，0），B（－1，0）两点． （1）求抛物线的解析式；

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（2）设抛物线的顶点为M，直线y=－2x＋9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；

（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点．问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线y=ax2＋bx＋3经过A（－3,0），B（－1,0）两点 ∴9a－3b＋3＝0 且a－b＋3＝0 解得a＝1 ， b ＝4

∴抛物线的解析式为y=x2＋4x＋3 （2）由（1）配方得y=(x＋2)2－1 ∴抛物线的顶点M（－2，1） ∴直线OD的解析式为y=

1x 21h）， 2 于是设平移的抛物线的顶点坐标为（h，∴平移的抛物线解析式为y=（x－h）2＋

1h． 21h=9， 2①当抛物线经过点C时，∵C（0，9），∴h2＋ 解得h=∴ 当

-1?145． 4-1-145-1?145≤h＜ 时，平移的抛物线与射线CD只有一个公共点． 44 ②当抛物线与直线CD只有一个公共点时， 由方程组y=（x－h）2＋

1h，y=－2x＋9． 21h－9=0， 2 得 x2＋（－2h＋2）x＋h2＋

1∴△=（－2h＋2）2－4（h2＋h－9）=0，

2

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解得h=4．

此时抛物线y=（x－4）2＋2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意．

综上：平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是 h=4或 -1?145． 4-1-145≤h＜4 （3）方法1

将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x2， 设EF的解析式为y=kx＋3（k≠0）．

假设存在满足题设条件的点P（0，t），如图，过P作GH∥x轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，H． ∵△PEF的内心在y轴上，

∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，∴△GEP∽△HFP， ∴GP/PH=GE/HF,

∴－xE/xF=(yE－t)/(yF－t)=(kxE＋3－t)/(kxF＋3－t) ∴2kxE·xF=（t－3）（xE＋xF）

由y=x2，y=－kx＋3．得x2－kx－3=0． ∴xE＋xF=k，xE·xF=－3． ∴2k（－3）=（t－3）k ∵k≠0，∴t=－3．

∴y轴的负半轴上存在点P（0，－3），使△PEF的内心在y轴上．

方法2 ：设EF的解析式为y=kx＋3（k≠0）,点E，F的坐标分别为（m，m2）（n，n2）由方法1知：mn=－3．作点E关于y轴的对称点R（－m，m2）,作直线FR交y轴于点P，由对称性知∠EPQ=∠FPQ，∴点P就是所求的点．

由F，R的坐标，可得直线FR的解析式为y=（n－m）x＋mn． 当x=0，y=mn=－3， ∴P（0，－3）．

∴y轴的负半轴上存在点P（0，－3），使△PEF的内心在y轴上．

29.已知二次函数y=x2－2mx+4m－8

(1)当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围。 （2）以抛物线y=x2－2mx+4m－8的顶点A为一个顶点作该抛

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物线的内接正三角形AMN（M、N两点在抛物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。

（3）若抛物线y=x2－2mx+4m－8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数．．m的值。

【答案】解：（1）∵x=?∴m≥2 A(m,-m2+4m-8)

由对称性可知∠MAC＝300 故设yAM=3x+b

把A(m,-m2+4m-8)代入yAM=3x+b 得，b=-m2+(4-3)m-8 即yAM=3x-m2+(4-3)m-8

2??yAM= x-m+(4- )m-8∴? 2??y?x － 2mx?4m－8b=m 2a解之得x1=m，x2=3+m ∴CM＝3

∴S△AMN＝

32?（23）＝33 42m?4m2?16m?32（3）x=＝m?m2?4m?8

2∵图象与x轴交点的横坐标均为整数 ∴整数m=2

30.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点Ａ(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，抛物线对称轴l与x轴相交于点M．

(1)求抛物线的解析式和对称轴； (3分)

(2)设点P为抛物线(x?5)上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐．．．．标； (2分)

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