2013中考数学综合题训练(5)

∴m=4，即点A的横坐标为-4.

解法二：过点A作AE⊥x轴于点E，∵点B的横坐标为1，∴B (1，?∴tan?OBF?

1)， 2OF1??2 BF12∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF， ∴AE?tan?AOE?tan?OBF?2，∴AE=2OE， OE121212m）（m＞0），则OE=m，AE?m，∴m?2m 222设点A（-m，?∴m=4，即点A的横坐标为-4. 解法三：过点A作AE⊥x轴于点E， ∵点B的横坐标为1，∴B (1，?设A（-m，?1)， 212m）（m＞0），则 215111OB2?12?()2?，OA2?m2?m4，AB2?(1?m)2?(??m2)2，

24422∵∠AOB=90°，∴AB?OA?OB， ∴(1?m)?(?2222112211?m)?(1?m)2?(??m2)2， 2222解得：m=4，即点A的横坐标为-4.

（3）解法一：设A（?m，?1212m）（m＞0），B（n，?n）（n＞0）， 22 - 21 -

12??mk?b??m (1) ??2设直线AB的解析式为：y=kx+b， 则?，

?nk?b??1n2 (2) ??2(1)×n+(2)×m得，(m?n)b?? ∴b??121(mn?mn2)??mn(m?n)， 221mn 2AEOE0.5m2m??又易知△AEO∽△OFB，∴，∴，∴mn=4， 2OFBFn0.5n∴b??1?4??2.由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，-2）， 21212m）（m＞0），B（n，?n）（n＞0）， 22（说明：写出定点C的坐标就给2分） 解法二：设A（?m，?直线AB与y轴的交点为C，根据S?AOB?S梯形ABFE?S?AOE?S?B0F?S?AOC?S?BOC，可得

11212111111?(n?m)(m?n)??m?m2??n?n2??OC?m??OC?n， 222222222化简，得OC?1mn. 2AEOE0.5m2m??又易知△AEO∽△OFB，∴，∴，∴mn=4，∴OC=2为固定值.故直线AB恒过其与y2OFBFn0.5n轴的交点C（0,-2）

说明：mn的值也可以通过以下方法求得. 由前可知，OA?m?2214111m，OB2?n2?n4，AB2?(m?n)2?(?m2?n2)2， 44222222由OA?OB?AB，得：(m?14111m)?(n2?n4)?(m?n)2?(?m2?n2)2， 4422化简，得mn=4. 23.如图，抛物线y?(1)求a的值； (2)求A,B两点的坐标;

(3)以AC,CB为一组邻边作□ABCD,则点D关于x轴的对称点D′是否在该抛物线上?请说明理由.

12x?x?a与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其顶点在直线y=－2x上. 2 - 22 -

12b4ac?b2,)，∴【答案】解：(1)∵二抛物线y?x?x?a的顶点坐标为(?x=1,∵顶点在直线y=-2x上，

22a4a所以y=-2,即顶点坐标为（1，-2），∴-2=时，

13123-1+a,即a=-4;(2)二次函数的关系式为y?x?x?，当y=02222123x?x??0，解之得：x1??1,x2?3，即A（-1，0），B（3，0）；（3）如图所示：直线BD//AC,AD//BC,223333因为A(-1.0),C(0,?),所以直线AB的解析式为y??x?,所以设BD的解析式为y??x?b,因为

222293911B(3,0),所以b=,直线BD的解析式为:y??x?,同理可得:直线AD的解析式为:y?x?,因此直线

22222331233BD与CD的交点坐标为:(2,),则点D关于x轴的对称点D′是(2,-),当x=2时代入y?x?x?得,y=?,

22222123所以D′在二次函数y?x?x?的图象上.

22

24.如图9所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD= 90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1．0），B( -1.2)，D( 3.0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到O/V，若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N。 （1）求抛物线的解析式

（2）抛物线上是否存在点P．使得PA= PC．若存在，求出点P的坐标；若不存在．请说明理由。 （3）设抛物线与x轴的另—个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的—个动点，当点Q在什么位置时有

QE?QC最大？并求出最大值。

【答案】（1）解：由题意可得M（0．2），N（-3．2）

N B y M C - 23 -

E A 图9 O D x

2?c??a?3b?c ∴ ?2?9?0?9a?3 b?c?1?a???9?1? 解得：?b??3?

?c?2??∴y=?121x??293

（2）∵PA= PC ∴P为AC的垂直平分线上，

依题意，AC的垂直平分线经过（-1．2）（1．0） 所在的直线为y=－x+1

?y??x?1? ?121y??x?x?2 ?93???x1?3?32解得：???y1??2?32??x2?3?32???y2??2?32 ∴P1（3?32,?2?32）P2（3?32,?2?32） （3）D为E关于对称轴x=1.5对称 CD所在的直线y=－x+3 ∴yQ=4.5

∴Q（-1.5．4.5）

QE?QC最大值为QC=2.52?2.52=

52 225.已知抛物线的顶点是C（0，a）（a＞0,a为常数），并经过点（2a,2a）,点D(0，2a)为一定点． ⑴求含有常数a的抛物线的解析式；

⑵设点P是抛物线上任意一点，过P作PH⊥x轴，垂足是H，求证：PD=PH；

⑶设过原点O的直线l与抛物线在第一象限相交于A、B两点，若DA=2DB，且S?ABD?42,求a的值． 【答案】解：⑴设抛物线的解析式为y?kx2?a ∵点D（2a，2a）在抛物线上，4a2k?a?2a ∴k?

1 4a- 24 -

（24题图）

∴抛物线的解析式为y?12x?a 4a⑵设抛物线上一点P（x,y），过P作PH⊥x轴，PG⊥y轴， 在Rt?GDP中，由勾股定理得：

PD2?DG2?PG2?(y?2a)2?x2?y2?4ay?4a2?x2

∵y?12x?a ∴x2?4a?(y?a)?4ay?4a2 4a∴PD2?y2?4ay?4a2?4ay?4a2?y2?PH2 ∴PD=PH.

⑶过B点BE⊥x轴，AF⊥y轴， 由⑵的结论：BE=DB AF=DA ∵DA=2DB ∴AF=2BE ∴AO=2BO ∴B是OA的中点 ∵C是OD的中点 连接BC ∴BC?DAAF??BE?DB 22过B作BR⊥y轴，

∵BR⊥CD ∴CR=DR, OR?a?∴B点的纵坐标是∴a3a， ?223a，又点B在抛物线上 23a12?x?a ∴x2?2a2 24a3a） 2∵x?0 ∴x?2a ∴B（2a，AO=2OB, ∴S?ABD?S?OBD?42 所以，

21?2a?2a?42 2（第24题解答图）

∴a?4， ∵a?0 ∴a?2

26.将抛物线c1：y=-3x2+3沿x轴翻折，得抛物线c2,如图所示. （1）请直接写出抛物线c2的表达式.

（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.

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