长沙理工大学数值分析习题集及答案(8)

116111T2()?T1()?T1()?3.141593156153， 即?的近似值为3.14159。

31I??dy1y11.

1) 计算结果如下表

T2k k 1.33333 0 1.16667 1 1.11667 2 1.10321 3

即积分I＝1.09862。

3111dy?dtf(t)???1y?1t?22) ，令三点高斯公式

I?S2k C2k R2k 1.11112 1.10000 1.09872 1.09926 1.09863 1.09862 1t?2

5158515f(?)?f(0)?f()?1.0980495995 五点高斯公式

I?0.23693f(?0.90618)?0.47863f(?0.53847)?0.56889f(0)?0.47863f(0.53847)?0.23693f(0.90618) ＝1.09862。

31I??dy1y3)

212.51311??dy??dy??dy??dy1y1.5y22.5yy

111111111?(?dt??dt??dt??dt)?10.25t?1.75?10.25t?2.25?10.25t?2.754?10.25t?1.25 133f(x)dx?f(?)?f()?33，得 对每个积分用高斯公式 ?1I＝1.09854。

此积分精确值为ln3?1.09861。 12. 三点公式：

1f?(1.0)?[?3f(1.0)?4f(1.1)?f(1.2)]??0.2472?0.1 1f?(1.1)?[?f(1.0)?f(1.2)]??0.2172?0.1 1f?(1.2)?[?f(1.1)?f(1.3)]??0.1892?0.1。

f?(x)??2(1?x)?3， f??(x)?6(1?x)?4， f???(x)??24(1?x)?5

3

h20.12|R1|?f???(?)??24(1?1.2)?5?1.55?10?333f?(1.0)的误差 h20.12|R2|??f???(?)??24(1?1.2)?5?7.8?10?466f?(1.1)的误差

?4f?(1.2)的误差 |R3|?6.2?10。

五点公式：

1[?25f(1.0)?48f(1.1)?36f(1.2)?16f(1.3)?3f(1.4)]??0.248312?0.1 1f?(1.1)?[?3f(1.0)?10f(1.1)?18f(1.2)?6f(1.3)?f(1.4)]??0.216312?0.1 1f?(1.2)?[f(1.0)?8f(1.1)?8f(1.3)?f(1.4)]??0.188312?0.1。

误差分别为 f?(1.0)?R1?1.7?10?3， R2?3.4?10?4， R3?4.7?10?4。

第五章 常微分方程数值解法习题参考答案

yn?1?yn?h(axn?b)?n(n?1)2n2ahah?nbh22，误差，改进尤拉

1． 尤拉法表达式

hn22yn?1?yn??f(xn,yn)?f(xn?h,yn?hf(xn,yn))??ah?nbh22法表达式，无误

差。

2． 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 3． 近似解 1.11 1.24205 1.39847 1.58181 1.79490 准确解 1.11034 1.24281 1.39972 1.58365 1.79744 近似解 0.0055 0.0219275 0.0501444 0.0909307 0.144992 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 近似解 2.04086 2.32315 2.64558 3.01237 3.42817 准确解 0.00516258 0.0212692 0.0491818 0.0896800 0.143469 准确解 2.04424 2.32751 2.65108 3.01921 3.43656 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

h2?h2?hnyn?1?yn?(?yn?yn?1)yn?1?ynyn?1?()y(0)?122?h，2?h。4． ，即又由，则有

2?nh2?hn2h22?hh?22?hhn2?hlimyn?lim()?lim(1?)?lime?e?xnh?02?hh?0h?02?h当h?0时，h?0。

5． 取步长h=0.5，，f(0.5)=0.500000，f(1)=1.14201，f(1.5)=2.50115，f(2)=7.24502。

6． (1) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 近似解 (2) 近似解 1.24280 0.2 1.72763 1.58364 0.4 2.74302 2.04421 0.6 4.09424 2.65103 0.8 5.82927 3.43655 1.0 7.99601 K?fn?th(fx?f?fy)n?o(h)，K3?fn?(1?t)h(fx?f?fy)n?o(h)，7． K1?fn，2则

h2h??yn?hy'n?y ?yn?(fn?th(fx?f?fy)n?fn?(1?t)h(fx?f?fy)n)?o(h2)22h2h?hfn?(fx?f?fy)?(2fn?h(fx?f?fy)n)?o(h2)?o(h2)22

??D??fK1?fn，?x?y8． (1)令，泰勒展开可得11K2?fn?hDfn?h2D2fn?o(h2)318，2221?2K3?f(xn?h,yn?hK2)?fn?h(D?hDfn)fn?h2D2fn?o(h2)3333?y9，

11yn?1?yn?hfn?h2Dfn?h3(D2f?fyD)fn?o(h3)26同理有， 代入龙格-库塔

3??o(h)。(2) 类似(1)展开可得K1?fn，公式可得

11K2?fn?hDfn?h2D2fn?o(h2)28，3331?9K3?f(xn?h,yn?hK2)?fn?h(D?hDfn)fn?h2D2fn?o(h2)4442?y32，

同理有

yn?1?yn?hfn?121hDfn?h3(D2f?fyD)fn?o(h3)26， 代入龙格-库塔

3??o(h)。 公式可得

hyn?1?yn?(2?yn?1?yn)29． 二阶显式公式为，代入得y(1.0)?0.626，二阶隐式hyn?1?yn?(2?yn?yn?1)2公式为，代入得y(1.0)?0.633，真解为

y(1.?0)0。.6

10．

h2(2)h3(3)yn?1?yn?hy?yn?yn?o(h3)26(1)n(1)n(2)n，

y'n?1?y?hyy'n?1?y?hy(1)nh2(3)h2(2)h3(3)2(1)?yn?o(h)yn?1?yn?hyn?yn?yn?o(h3)226，，h2(3)5(3)?yn?o(h2)??h3yn?o(h3)?o(h2)28，代入得，截断误

(2)n53(3)hyn差首项为8。

11．

h2(2)h3(3)yn?1?yn?hy?yn?yn?o(h3)26(1)n(1)n(2)n，

y'n?1?y?hyy'n?2h2(3)4h3(3)2(1)2(2)?yn?o(h)yn?2?yn?2hyn?2hyn?yn?o(h3)23，，

(1)nh2(2)h3(3)yn?1?yn?hy?yn?yn?o(h3)(1)(2)2(3)2?yn?2hyn?2hyn?o(h)，26，

代入待定系数的公式中可得系数之间的关系式为a0?a1?a2?1，?a1?2a2?b0?b1?b2?1，a1?4a2?2b1?4b2?1，?a1?8a2?3b1?12b2?1。

12．

y'?z,z'?3z?2yy(?0z)?(1)，其中

y'?z,z'?0.1(1?y2)z?yy(?0z，其中

xyx'?a,a'??,y'?b,b'??223223(x?y)(x?y)(3)，

x(0)?0,a(0)?0,y(0)?0,b(0)?2。

1。?)(2) 。中

其

13．

用差商逼近导数的方法把原边值问题转化为等价差分法方程组可得?31y1?16y2?0,16y1?31y2?16y3?0,16y2?31y3??26.88，解此方程组可得

y1?0.494380,y2?0.957862,y3?1.36148。

14．

h?1,xn?n，初值条件等于准确解，由数学归纳法代入差分公式中可得

22(n?1)2h2?(n?1)h(n?1)2h2?(n?1)hyn?1?2yn?yn?1?1?nh?nh??1?22，即

差分法求出的解恒等于准确解。 15． 差分方程6y0?5y1?1,26y0?54y1?25y2??1.8,29y1?59y2?27y3??0.6，

34y2?68y3?31y4?0.6,41y3?81y4??72.2，代入得y0?1.01487,y1?1.01785，y2?1.07010,y3?1.21030,y4?1.51329。

第六章 方程求根

2f(x)?x?x?1，则f(0)??1?0,f(2)?1?0. 1. 令

k 0 1 2 3 4 5 2.

ak bk xk f(xk)符号 0 1 1.5 1.5 1.5 1.5625 2 2 2 1.75 1.625 1.625 1 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.5938 － － ＋ ＋ － － 12?|?(x)|??122x?1.5xx3. 1) ，在附近，，

迭代公式收敛。

2x?|?(x)|??122/3233(1?x) 2) ?(x)?1?x，在x?1.5附近，

迭代公式收敛，迭代得近似值1.466。

?(x)?1?x?1， 3)

迭代公式发散。

4. 1) 二分14次得0.0905456； 2) 迭代5次得0.0905246。

5. 迭代函数?(x)?x???f(x)， ??(x)?1???f?(x)，

?(x)?1|??(x)|?12(x?1)3/2，|??(1.5)|?1.414?1，

由已知

即迭代过程收敛。

0?f?(x)?M?2?，有0???f?(x)?2，所以|??(x)|?1.

?16. 将x??(x)转化为x??(x)，此时

11??1.??(x)k

在x?4.5附近，x?tgx?tg(x??)，所以迭代格式为x?arctgx??，迭代三次得4.4934。

|??1(x)?|?7. 1) 牛顿法迭代格式

xk?13f(xk)2xk?1?xk??2f?(xk)3xk?3，迭代三次得1.879。

2) 弦截法迭代格式

3) 抛物线法 f(x0)??3,f(x1)?17,f(x2)?1，

f[x1,x0]?10,f[x2,x1]?16,f[x2,x1,x0]?6,

xk?1?xk?f(xk)(xk?xk?1)f(xk)?f(xk?1)，迭代三次得1.879。

故 ??f[x2,x1]?f[x2,x1,x0](x2?x1)?10，

2f(xk)xk?1?xk?2????4f(xk)f[xk,xk?1,xk?2]，迭代三次得1.879。 则

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