?a11??0证明A2是对称矩阵。
(b)用高斯消去法解对称方程组：
a1T??A2?
4. 设A为n阶非奇异矩阵且有分解式A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，求证A的所有顺序主子式均不为零。
5. 由高斯消去法说明当?i?0(i?1,2,?,n?1)时，则A=LU，其中L为单位下三角阵，U 为上三角阵。
?0.6428x1?0.3475x2?0.8468x3?0.4127;??0.3475x1?1.8423x2?0.4759x3?1.7321;??0.8468x?0.4759x?1.2147x??0.8621.123?
|aii|??|aij|(i?1,2,?,n),j?i6. 设A 为n阶矩阵，如果称A为对角优势阵。证明：若A
是对角优势阵，经过高斯消去法一步后，A具有形式
j?1n?a11??0?a11??0A?(aij)n,A2?(aij其中
(2)a1T??A2?。 a1T??A2?，
7. 设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为
)n?1;
证明 （1）A的对角元素aii?0(i?1,2,?,n); （2）A2是对称正定矩阵；
(n)a?aii,(i?1,2,?,n); n（3）
（4）A的绝对值最大的元素必在对角线上； （5）2?i,j?n(2)max|aij|?max|aij|;2?i,j?n
（6）从（2），（3），（5）推出，如果8. 设Lk为指标为k的初等下三角阵，即
|aij|?1，则对所有k
(k)|aij|?1.
?1????????1Lk???m1k?1,k????????m1??nk??（除第k列对角元下元素外，和单位阵I相同）
~L?IijLkIij也是一个指标为k的初等下三角阵，其中Iij为初等排
求证当i,j?k时，k列阵。
9. 试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角阵，U为单位上三角阵。
10. 设Ux?d，其中U为三角矩阵。
(a) 就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，病写出算法。 (b) 计算解三角形方程组Ux?d的乘除法次数。 (c) 设U为非奇异阵，试推导求U?1的计算公式。
?1T11. 证明（a）如果A是对称正定阵，则A也是正定阵；
（b）如果A是对称正定阵，则A可唯一写成A?LL,其中L是具有正对角元的下三角阵。 12. 用高斯－约当方法求A的逆阵：
?21?3?1??310?7?A????124?2???10?15??
13. 用追赶法解三对角方程组Ax?b，其中
14. 用改进的平方根法解方程组
?2?1000??1???12?100??0?????A??0?12?10?,b??0?????00?12?1???0????000?12???0??
?2?11??x1??4???1?23??x???5?.???2????31??1???x3????6??
15. 下述矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么
分解是否唯一？
16. 试划出部分选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组
?123??111??126??,B??221?,C??2515?.A??241??????????467???331???61546??
?034??x1??1??1?11??x???2????2?????212????x3????3??.
a?0(|i?j|?t)，则称A为带宽2t+1的带状矩阵，设A满足三角分
17. 如果方阵A 有ij解条件，试推导A?LU的计算公式，对r?1,2,?,n.
uri?ari?1）
rkkik?max(1,i?t)?lr?1r?1u (i?r,r?1,?,min(n,r?t))；
(i?r?1,?,min(n,r?t)).
lir?(air?2）18. 设
ikkrk?max(1,i?t)?lu)/urr?0.60.5?A????0.10.3?，
计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。 19. 求证
(a) ||x||??||x||1?n||x||?，
1(b)
n||A||F?||A||2?c2||A||Fn?n。
20. 设 P?Rn且非奇异，又设||x||为R上一向量范数，定义
||x||p?||Px||。
试证明
||x||p是Rn上的一种向量范数。
n?n21. 设A?R为对称正定阵，定义
||x||A?(Ax,x)1/2，
n试证明||x||A为R上向量的一种范数。 nT22. 设x?R,x?(x1x2,?,xn)，求证
lim(?||xi||p)1/p?maxxi?||x||?y??i?11?i?nn。
23. 证明：当且尽当x和y线性相关且xy?0时，才有
T||x?y||2?||x||2?||y||2。
24. 分别描述R中（画图）
2Sv?{x|||x||v?1,x?R2},(v?1,2,?)。
?是Rn（或Cn）上的任意一种范数，而P是任意非奇异实（或复）矩阵，定义范
?1数||x||??||Px||，证明||A||??||PAP||。
n?n26. 设||A||s,||A||t为R上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数c1,c2?0，使对一切
25. 令
A?Rn?n满足
c1||A||s?||A||t?c2||A||s
TTn?nTT?(AA)??(AA)。 A?RAAAA27. 设，求证与特征值相等，即求证
28. 设A为非奇异矩阵，求证
||A||?y?0||y||||A?1||??。
?1?129. 设A为非奇异矩阵，且||A||||?A||?1，求证(A??A)存在且有估计
||?A||cond(A)||A?1?(A??A)?1||||A||?.?1||?A||||A||1?cond(A)||A||
1?min30. 矩阵第一行乘以一数，成为
?2?A???1证明当
??1??。
???23时，cond(A)?有最小值。
31. 设A为对称正定矩阵，且其分解为A?LDL?WW，其中W?D(a) cond(A)2?[cond(?)2];
Tcond(A)?cond(?)2cond(?)2. 2(b)
2TT1/2LT，求证
32. 设
?10099?A????9998?
计算A的条件数。cond(A)v(v?2,?)
33. 证明：如果A是正交阵，则cond(A)2?1。 34. 设A,B?Rn?n且
?为上矩阵的算子范数，证明
cond(AB)?cond(A)cond(B)。
第八章 解方程组的迭代法
1. 设方程组
(a) 考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性;
(k?1)(k)?4||x?x||?10?(b) 用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当时迭代
?5x1?2x2?x3??12???x1?4x2?2x3?20?2x?3x?10x?323?1
终止．
?00?A????20?, 证明:即使||A||1?||A||??1级数I?A?A2???Ak??也收敛． 2. 设
3. 证明对于任意选择的A, 序列
收敛于零．
４. 设方程组
111I,A,A2,A3,A4,?23!4!
迭代公式为
?a11x1?a12x2?b1;??a21x1?a22x2?b2; (a11,a12?0);
1?(k)(k?1)x?(b?ax);11122?a11???x(k)?1(b?ax(k?1));22211?a22 ? (k?1,2,?).
(k){x}收敛的充要条件是 求证: 由上述迭代公式产生的向量序列
r?5. 设方程组
a12a21?1.a11a22
?x1?0.4x2?0.4x3?1??0.4x1?x2?0.8x3?2?0.4x?0.8x?x?3123(a) ? (b)
6. 求证k???x1?2x2?2x3?1??x1?x2?x3?1?2x?2x?x?123?1
试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。
limAk?A的充要条件是对任何向量x，都有
7. 设Ax?b，其中A对称正定，问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛？试考察习题5(a)方程组。 8. 设方程组
k??limAkx?Ax.111?x?x?x??143442;??x?1x?1x?1;?243442???1x?1x?x?1;3?41422?111??x1?x2?x4?.42 ?4(a) 求解此方程组的雅可比迭代法的迭代矩阵B0的谱半径；
(b) 求解此方程组的高斯－塞德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径；
(c) 考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯－塞德尔迭代法的收敛性。 9. 用SOR方法解方程组（分别取松弛因子??1.03,??1,??1.1）
?4x1?x2?1;???x1?4x2?x3?4;??x?4x??3.3?2
11x??(,1,?)T,?(k)?622要求当||x?x||??5?10时迭代终止，并且对每一个?精确解
值确定迭代次数。
10. 用SOR方法解方程组（取?＝0.9）
?5x1?2x2?x3??12;???x1?4x2?2x3?20;?2x?3x?10x?3.23?1
(k?1)(k)?4||x?x||?10?要求当时迭代终止。
11. 设有方程组Ax?b，其中A为对称正定阵，迭代公式
x(k?1)?x(k)??(b?Ax(k)), (k?0,1,2,?)
0???试证明当
2?时上述迭代法收敛（其中0????(A)??）。
(k?1)12. 用高斯－塞德尔方法解Ax?b，用xi记x(k?1)的第i个分量，且
nri(k?1)?bi??aijxj?1i?1(k?1)j??aijxi(k)j?i。
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