长沙理工大学数值分析习题集及答案(6)

右＝?ababab[f??(x)?S??(x)]2dx?2?S??(x)[f??(x)?S??(x)]dxab

??{[f??(x)?S??(x)]2?2S??(x)[f??(x)?S??(x)]}dx??(f??(x)2?S??(x)2)dx

＝左。

ii) 由于S(x)为三次函数，故S???(x)为常数，又f(xi)?S(xi)，则

?xi?1xi[f?(x)?S?(x)]dx?0b，所以

nxi?1i?0xi?aS??(x)[f??(x)?S??(x)]dx???S??(x)[f??(x)?S??(x)]?S???(x)[f?(x)?S?(x)]dx

??[S??(x)(f??(x)?S??(x))?S???(x)(f?(x)?S?(x))]dxab?S???(b)[f?(b)?S?(b)]?S???(a)[f?(a)?S?(a)]。

第三章 函数逼近与计算习题参考答案

1. (a) 区间变换公式为

x'?(b?a)x?a,x?nx'?ab?a，代入原公式可得新区间里的伯

kx?akkBn(f,x)??f((b?a)?a)Pk(),Pk(x)?Cnx(1?x)n?knb?ak?0恩斯坦多项式为;

?3，相应的麦克劳1313P(x)?x,P(x)?x?xR(x)???0.6459641316，48林级数分别为部分和误差则为，

(b)

B1(f,x)?2?x,B3(f,x)?3x?(1?2x?)?263x2?2(1?2x?)?8x3R3(x)?1?5?0.07969263840，大于伯恩斯坦多项式的误差。

m?m?Pk(x)??k?0k?0nnnnkf()Pk(x)?Bn(f,x)?M?Pk(x)?Mnk?0，

2. m?f(x)?M，故

nkkkn?kk?1k?1Bn(f,x)??Cnx(1?x)?x?Cn(1?x)(n?1)?(k?1)?x?1xk?0nk?1当f(x)?x时，。

2(k1)??x?,k?,18,?sin4x?0?1g(x)83. ，对任意不超过6次的多项式，在时，

若有g(x)?sin4x?1，则g(x)在?0,2??上至少有7个零点，这与g(x)不超过6次矛盾，所以g(x)?sin4x?1，g(x)?0就是所求最佳一致逼近多项式。

?(f,g)?max(M?c,m?c),M?maxf(x),m?minf(x)g(x)?ca?x?ba?x?b4. 设所求为，，

由47页定理4可知g(x)在?a,b?上至少有两个正负交错的偏差点，恰好分别

1M?c??(m?c),c?(M?m)2为f(x)的最大值和最小值处，故由可以解得

g(x)?1(M?m)2即为所求。

x?3a3a33a,x?1()?a()?a?133，故3，

5. 原函数与零的偏差极大值点分别为

34。 解方程可得出唯一解

222a1??0.636620cosx?x2?arccos?0.880689,f(x2)?0.771178??，?6. ，故得，f(x2)xa0??a12?0.10525722，故所求最佳一次逼近多项式为P?0.63?6x620，又因为两个偏差点必在区间端点，故误差限为0.1052571(x)a?0?x?maxsinx?P1(x)?P1(0)?0.105257?2。

x7. a1?e?1?1.71828，故由e2?e?1可以解得x2?0.541325，f(x2)?1.71828，

1?f(x2)x?a12?0.89406722则有，故所求最佳一次逼近多项式为

P1(x)?1.71828x?0.894067。

a0?8. 切比雪夫多项式在??1,1?上对零偏差最小，

所求函数必为切比雪夫多项式的常

111r??p(x)?T2(x)?x2?2。 22，解得唯一解 数倍，

11153119x??tg(t)?t4?t3?t2?t?22代入f(x)得1682816，则g(t)在9. 作变换

??1,1?三次最佳逼近多项式为15251173S(t)?g(t)?T3(t)?t3?t2?t?1288168128，作逆变换t?2x?1代入S(t)，则

5211293P(x)?5x?x?x?f(x)在?0,1?上的三次最佳逼近多项式为44128。

上的

*T1*(x)?T1(2x?1)?2x?1，T2*(x)?T2(2x?1)?8x2?8x?1，10. T0(x)?T0(2x?1)?1，

T3*(x)?T3(2x?1)?32x3?48x2?18x?1，其中x??0,1?。

11.

?1*Tn*(x)Tm(x)0x?x2dx??1Tn(2x?1)Tm(2x?1)x?x20dx??12Tn(x)Tm(x)dx2?12Tn*(x)??1?x，故正

1交。

12. 用T4(x)的4个零点

xk?cos2k?1?(k?1,2,3,4)8做插值节点可求得三次近似最

23L(x)??0.0524069?0.855066x?0.0848212x?0.0306032x3佳逼近多项式为。

x???1,1?。由拉格朗日插值的余项表达公式13. f(x)?e，则有f(x)?e，其中

xnx

可得出

,?n?n1n)?ef(x?Ln)x(?))e?fn?1(??nTn?1(x)(n?1)!2(n?1)!2nn，

)!令

2e?1?n?(n?14. 由

!，则待证不等式成立，得证。2(1

1级数项数节约，在??1?,上有

1511651?(x?)5M,3(?x)T4?(x)T(x)538483840，16即1511651183321219931101M5,3(x)??(x)?T4(x)?T5(x)??x?x?x?3848384016102412840961096151165131max?(x)?M5,3(x)????0.0075683638483840164096其中误差限为?1?x?1。

115115f(x)?sinx?x?x3?x??P5(x)?x?x3?x61206120为f(x)的近似，15. ，取

1maxf(x)?P5(x)??0.0001984137!误差限为?1?x?1，再对幂级数的项数进行节约就

可以得到原函数的3次逼近多项式

115383M5,3(x)?P5(x)?T5(x)??x3?1201632384，其误差限为

111maxf(x)?M5,3(x)???0.000719246?1?x?17!12016，即为所求

泰勒

?a,a?上的奇函数时，设Fn(x)为原函数的最佳逼近多项式，则16. 当f(x)为?*Fn*(x)?f(x)?En*?Fn*(?x)?f(x)?Fn*(?x)?f(?x)?En?F(?x)n，对有，所

*以?Fn(?x)也是最佳逼近多项式，由最佳逼近多项式的唯一性，?Fn*(?x)?Fn*(x)，即?Fn*(?x)是奇函数。同理可证，当f(x)为??a,a?上的偶*Fn函数时，最佳逼近多项式(x)也是偶函数。

?17.

?20?ax?b?sinx?dx??3a?2?324a?2?2b?2?24ab?2a?2b?a??4，为使均方误差最小，

,b?8??24?24则有1218. (a)

b?2?0,b?24a??b?2?0，

96?24?，解得

?3ba?2。 ，c为常

，

(f,g)?(g,f)??f'(x)g'(x)dxa(cf,g)?c(f,g)?c?f'(x)g'(x)dxba数，

(f,f)?0，但当f(x)?c时，(f,f?)(f1?fg2,?f)g?1(fg,??2)ff'x(g)x(gxdx,1??)fabxgx'dx()'(),0不满足定义，所以

'x(dx不构成内积。（b）(f,g)?(g,f)，(cf,g)?c(f,g)，

(f1?f2,g)?(f1,g)?(f2,g)，(f,f)?0且当且仅当f(x)?0时(f,f)?0，满

a(f,g?)?b足定义，所以(f,g)构成内积。

61x1x1112dx?dx?(dx)(xdx)??0.196116?0?0(1?x)2?0?0261??19. 1?x，1?x1611121212?10x6dx，

61x11?0.0714286??dx??0.14285701?x7其中0???1，则14，由此可知用积分

中值定理估计比许瓦兹不等式估计更精确。 12221222(x?ax)dx??ax?axdx??13520. ，a?0时最小。??1在a?1时，值为2121a?2?a?33a，a?1时，值为1，a??1时，值为33a2，a?1时最小。

1122a?1,b??(x?ax?b)dx6，误差为21. 要使?0最小，由拉格朗日乘子法可解得

1121001012??(x?ax?bx)dx180，要使?0最小，由拉格朗日乘子法可解得20097992009294a?,b??53565356，误差为??0.164063，前者误差小。

242(x?a?bx?cx)dxx?22. 1上均为偶函数，也为偶函数，则?0最小，由拉格朗

日乘子法可解得

15105a?0?.b1?17?c18?12864。

sin?(n?2)arccosx??sin?narccosx?un?1(x)?un?1(x)??2xun(x)21?x23. ，和差化积得

证。

11(f,P0)??sinxdx?0?1224. 由积分区间的对称性及勒让德多项式的奇偶性可知，

1311(f,P2)??(x2?)sinxdx?0?1222，将原函数在此积分区间上按勒让德多项式

1111(f,P)?xsinxd?x8sin?4co?s0.3250741??1222三次展开就可以求得，

153111(f,P3)??(x3?x)sinxdx?236cos?432sin??0.00234807?122222，代入可*3S(x)?0.487611P(x)?0.00821825P(x)?0.499938x?0.0205456x13得3，均方误

17?差为

2?n2???sin2xdx?(f,P)?2(f,P3)??2.4487?10?1222??1??1137?124。

21f(x)Tk(x)2?1***C?dx??cosk?d?f(x)?C0??CkTk(x)k??2?10??21?xk?125. ，其中。

?????10a?10654b?542.8?0?10654a?14748998b?738643.0?026. ?a，?b，解方程得a?4.00955,b?0.0471846，均方误差??13.0346。

?27. 经验公式为s?at?bt，最小二乘法解得a?2.31346,b?10.65759，运动方程

22为s?2.31346t?10.65759。

28. 经验公式为y?t/(at?b)，最小二乘法解得a?0.160744,b?3.17914，浓度与

时间的函数关系为y?t/0.160744t?3.17914。

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