数学中考B卷压轴题精选及详细解析(2)

（2011中考）28．(本小题满分12分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知OA:OB?1:5，OB?OC，△ABC的面积S?ABC?15，抛物线

y?ax2?bx?c(a?0)

经过A、B、C三点。

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(1)求此抛物线的函数表达式；

(2)设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长； (3)在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为72？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

中考第28题解析

(2006中考)28.解：（1）在△ABF和△ADO中，

?四边形ABCD是正方形，?AB?AD，∠BAF?∠DAO?90?．

?ABF≌△ADO， 又?∠ABF?∠ADO，△?BF?DO． ······························································································· 3分

（2）由（1），有△ABF≌△ADO，?AO?AF?m．?点F?m，m?．

?G是△BDO的外心，?点G在DO的垂直平分线上． ?点B也在DO的垂直平分线上．

?△DBO为等腰三角形，BO?BD?2AB．

AB??22?m?22?m， 而BO?22，?22?222?m，?m?2?22． ?F2?22，2?2???2?．

设经过B，F，O三点的抛物线的解析表达式为y?ax?bx?c?a?0?．

2················· ① 0?，?c?0．?y?ax2?bx． ·?抛物线过点O?0，0，点F2?22，2?22的坐标代入①中，得 把点B?22，????y l ?0??22a??22b，? ?2?2?22?2?22a?2?22b.????2?????B G F C A E O x

D Q ???22a?b?0，??a?即? 解得?2?22a?b?1.??b?????1，2 2.?抛物线的解析表达式为y?12x?2x． ························· ② 2 ·············································································· 5分 （3）假定在抛物线上存在一点P，使点P关于直线BE的对称点P?在x轴上． ?BE是∠OBD的平分线，

?x轴上的点P?关于直线BE的对称点P必在直线BD上， 即点P是抛物线与直线BD的交点．

设直线BD的解析表达式为y?kx?b，并设直线BD与y轴交于点Q，则由△BOQ是等腰直角三角形．

?22． ?OQ?OB．?Q0，

??0，点Q0，?22代入y?kx?b中，得 把点B?22，??????k??1，?0??22k?b，??? ?b??22.?????22?b.?直线BD的解析表达式为y??x?22．

设点P?x0，y0?，则有y0??x0?22． ···································· ③ 把③代入②，得

12x0?2x0??x0?22， 212?x0?2?22?1x0?22?0，即x0?2??2?1x0?42?0．

??x0?22???x?2??0．

0解得x0??22或x0??2．

当x0??22时，y??x0?22?22?22?0； 当x0??2时，y0??x0?22?2?22．

0，P2?2，2?22，它们关于直线BE的对称点都在x轴?在抛物线上存在点P1?22，上．

(4分）

????

3)和(?3，?12)，（2007中考）28．解：（1）?二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(2，

?b??2a?1，?a??1，???由?4a?2b?c?3， 解得?b?2，

?c?3.?9a?3b?2??12.????此二次函数的表达式为 y??x2?2x?3．

（2）假设存在直线l:y?kx(k?0)与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以

B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似．

2在y??x?2x?3中，令y?0，则由?x?2x?3?0，解得x1??1，x2?3

2?A(?1，，0)B(3，0)．

3)． 令x?0，得y?3．?C(0，设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E．

0)，点C的坐标为(0，3)，点A的坐标为(?1，0)． ?点B的坐标为(3，? ?AB?4，OB?OC?3，?OBC?45.?BC?32?32?32．

要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC， 已有?B??B，则只需

x l BDBC?BOBAC ，

①

O D 或

BOBC?BDBA.

②

A E B y 成立．

若是①，则有BD??BO?BCBA?3?3292． ?44x?1 而?OBC?45，?BE?DE．

?92?2222?在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE?DE?2BE?BD???4??．

??29（负值舍去）． 493?OE?OB?BE?3??．

44解得

BE?DE??39??点D的坐标为?，?．

?44?将点D的坐标代入y?kx(k?0)中，求得k?3．

?满足条件的直线l的函数表达式为y?3x．

［或求出直线AC的函数表达式为y?3x?3，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为

y?3x．此时易知△BOD∽△BAC，再求出直线BC的函数表达式为y??x?3．联立

?39?y?3x，y??x?3求得点D的坐标为?，?．］

?44?若是②，则有BD??BO?BABC?3?4?22． 32而?OBC?45，?BE?DE．

?在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE?DE?2BE?BD?(22)2．

解得

． BE?DE?2（负值舍去）

2222?OE?OB?BE?3?2?1．

2)． ?点D的坐标为(1，将点D的坐标代入y?kx(k?0)中，求得k?2．

∴满足条件的直线l的函数表达式为y?2x．

，使得以?存在直线l:y?3x或y?2x与线段BC交于点D（不与点B，C重合）

?39?B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似，且点D的坐标分别为?，?或(1，2)．

44??3)E(1，0)的直线y?kx?3(k?0)与该二次函数的图象交于点P． （3）设过点C(0，，，0)的坐标代入y?kx?3中，求得k??3． 将点E(1

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