浙江衢州市2018年中考数学试题及解析(4)

2

．

．

设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+bx+∵该函数图象过点（16，0），∴0=﹣×16+16b+

2

，解得：b=3，

=﹣

∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+3x+（x﹣

）2+

，

米．

∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．

24．（12分）如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6，8），直线CD交AB于点D（6，3），交x轴于点C（12，0）． （1）求直线CD的函数表达式；

（2）动点P在x轴上从点（﹣10，0）出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t．

①点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值．

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）①如图1中，作DP∥OB，则∠PDA=∠B．利用平行线分线段成比例定理，计算即可，再根据对称性求出P′；

②分两种情形分别求解即可解决问题：如图2中，当OP=OB=10时，作PQ∥OB交CD于Q．如图3中，当OQ=OB时，设Q（m，﹣ m+6），构建方程求出点Q坐标即可解决问题；

【解答】解：（1）设直线CD的解析式为y=kx+b，则有∴直线CD的解析式为y=﹣x+6．

（2）①如图1中，作DP∥OB，则∠PDA=∠B．

，解得

，

∵DP∥OB，∴

=

，∴

=，∴PA=，∴OP=6﹣=

，0）， ，0）．

，∴P（

，0），

根据对称性可知，当AP=AP′时，P′（∴满足条件的点P坐标为（

，0）或（

②如图2中，当OP=OB=10时，作PQ∥OB交CD于Q．

∵直线OB的解析式为y=x，∴直线PQ的解析式为y=x+

，

由，解得，∴Q（﹣4，8），

∴PQ==10，∴PQ=OB．

∵PQ∥OB，∴四边形OBQP是平行四边形．

∵OB=OP，∴四边形OBQP是菱形，此时点M与的Q重合，满足条件，t=0． 如图3中，当OQ=OB时，设Q（m，﹣ m+6），

则有m2+（﹣m+6）2=102，解得m=∴点Q 的横坐标为

或

，

，

设点M的横坐标为a，则有：∴a=

或

，

=或=，

∴满足条件的t的值为或．

【点评】本题考查了一次函数综合题、待定系数法、菱形的判定、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标，所以作为中考压轴题．

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