浙江衢州市2018年中考数学试题及解析(3)

小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：

a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2

请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程． 方案二： 方案三：

【分析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决．

【解答】解：由题意可得：

方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2， 方案三：a2+

=

=a2+2ab+b2=（a+b）2．

【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．

20．（8分）“五?一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家C在自己的北偏东45°方向，于是沿河边笔直的绿道l步行200米到达B处，这时定位显示小陈家C在自己的北偏东30°方向，如图所示，根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道

继续直走多少米才能到达桥头D处（精确到1米）（备用数据：1.732）

≈1.414，≈

【分析】根据题意表示出AD，DC的长，进而得出等式求出答案． 【解答】解：如图所示：可得∠CAD=45°，∠CBD=60°，AB=200m， 则设BD=x，故DC=∵AD=DC，∴200+x=

x．

x，解得：x=100（

﹣1）≈73，

答：小明还需沿绿道继续直走73米才能到达桥头D处．

【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AD=DC是解题的关键． 21．（8分）为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“戒毒宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”等五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查，结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．

（1）被随机抽取的学生共有多少名？

（2）在扇形统计图中，求活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角的度数，并补全折线统计图；

（3）该校共有学生2000人，估计其中参与了4项或5项活动的学生共有多少人？ 【分析】（1）利用活动数为2项的学生的数量以及百分比，即可得到被随机抽取的学生数；

（2）利用活动数为3项的学生数，即可得到对应的扇形圆心角的度数，利用活动数为5项的学生数，即可补全折线统计图；

（3）利用参与了4项或5项活动的学生所占的百分比，即可得到全校参与了4项或5项活动的学生总数．

【解答】解：（1）被随机抽取的学生共有14÷28%=50（人）； （2）活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角=项的学生为：50﹣8﹣14﹣10﹣12=6，如图所示：

×360°=72°，活动数为5

（3）参与了4项或5项活动的学生共有

×2000=720（人）．

【点评】本题主要考查折线统计图与扇形统计图及概率公式，根据折线统计图和扇形统计图得出解题所需的数据是解题的关键．

22．（10分）如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，

取的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于H．

（1）求证：△HBE∽△ABC；

（2）若CF=4，BF=5，求AC和EH的长．

【分析】（1）根据切线的性质即可证明：∠CAB=∠EHB，由此即可解决问题； （2）连接AF．由△CAF∽△CBA，推出CA2=CF?CB=36，推出CA=6，AB=

=3

，AF=

=2

， ，

由Rt△AEF≌Rt△AEH，推出AF=AH=2设EF=EH=x．

在Rt△EHB中，可得（5﹣x）2=x2+（

）2，解方程即可解决问题；

【解答】解：（1）∵AC是⊙O的切线，∴CA⊥AB． ∵EH⊥AB，∴∠EHB=∠CAB． ∵∠EBH=∠CBA，∴△HBE∽△ABC． （2）连接AF．

∵AB是直径，∴∠AFB=90°．

∵∠C=∠C，∠CAB=∠AFC，∴△CAF∽△CBA， ∴CA2=CF?CB=36，∴CA=6，AB=∵

=

，∴∠EAF=∠EAH．

=3

，AF=

=2

．

∵EF⊥AF，EH⊥AB，∴EF=EH．

∵AE=AE，∴Rt△AEF≌Rt△AEH，∴AF=AH=2设EF=EH=x．

在Rt△EHB中，（5﹣x）2=x2+（

）2，∴x=2，∴EH=2．

，

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．

23．（10分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．

（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；

（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？

（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．

【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，此题得解；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论；

（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+bx+

，代入点（16，0）可求出b值，再利用配方法将二次函数表达

式变形为顶点式，即可得出结论．

【解答】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x﹣3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y=a（x﹣3）2+5，得：25a+5=0，解得：a=﹣，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．

（2）当y=1.8时，有﹣（x﹣3）2+5=1.8，解得：x1=﹣1，x2=7， ∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内． （3）当x=0时，y=﹣（x﹣3）+5=

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