2017年山东省临沂市中考数学试卷(含答案解析版)(5)

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

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（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．

（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．

【考点】RB：几何变换综合题． 【分析】（1）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再得出∠AEC=45°，即可得出等腰直角三角形，即可；（判断∠ADE=∠ABC也可以先判断出点A，B，C，D四点共圆）

（2）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再用三角函数即可得出结论． 【解答】解：（1）BC+CD=AC； 理由：如图1，

延长CD至E，使DE=BC， ∵∠ABD=∠ADB=45°，

∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=90°， ∵∠ACB=∠ACD=45°， ∴∠ACB+∠ACD=45°， ∴∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵∠ADC+∠ADE=180°， ∴∠ABC=∠ADE， 在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（SAS），

∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴CE=AC，

∵CE=CE+DE=CD+BC，

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，

∴BC+CD=AC；

（2）BC+CD=2AC?cosα．理由：如图2， 延长CD至E，使DE=BC， ∵∠ABD=∠ADB=α，

∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣2α， ∵∠ACB=∠ACD=α， ∴∠ACB+∠ACD=2α， ∴∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵∠ADC+∠ADE=180°， ∴∠ABC=∠ADE， 在△ABC和△ADE中，

，

∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE， ∴∠AEC=α，

过点A作AF⊥CE于F，

∴CE=2CF，在Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=AC?cos∠ACD=AC?cosα， ∴CE=2CF=2AC?cosα， ∵CE=CD+DE=CD+BC， ∴BC+CD=2AC?cosα．

26．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB． （1）求抛物线的解析式；

（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；

（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若

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不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）待定系数法即可得到结论；

（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（﹣1，﹣3），设D（0，m），则OD=|m即可得到结论； （3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（﹣2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论． 【解答】解：（1）由y=ax2+bx﹣3得C（0．﹣3）， ∴OC=3， ∵OC=3OB， ∴OB=1，

∴B（﹣1，0）， 把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣3得∴

，

，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；

（2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F， ∵A（2，﹣3），C（0，﹣3）， ∴AF∥x轴， ∴F（﹣1，﹣3）， ∴BF=3，AF=3， ∴∠BAC=45°， 设D（0，m），则OD=|m|， ∵∠BDO=∠BAC， ∴∠BDO=45°， ∴OD=OB=1， ∴|m|=1， ∴m=±1， ∴D1（0，1），D2（0，﹣1）； （3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），

①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，

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则△ABF≌△NME，

∴NE=AF=3，ME=BF=3， ∴|a﹣1|=3， ∴a=3或a=﹣2，

∴M（4，5）或（﹣2，11）；

②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3， 则N在x轴上，M与C重合， ∴M（0，﹣3），

综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，11）或（0，﹣3）．

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