2017年山东省临沂市中考数学试卷(含答案解析版)(4)

④=（π0，2），=（2，﹣1）．

其中互相垂直的是 ①③④ （填上所有正确答案的符号）． 【考点】LM：*平面向量；6E：零指数幂；T7：解直角三角形． 【分析】根据向量垂直的定义进行解答．

【解答】解：①因为2×（﹣1）+1×2=0，所以与互相垂直； ②因为cos30°×1+tan45°?sin60°=直； ③因为（

﹣

）（

+

）+（﹣2）×=3﹣2﹣1=0，所以

互相垂直．

与

互相垂直；

×1+1×=≠0，所以与不互相垂

④因为π0×2+2×（﹣1）=2﹣2=0，所以与

综上所述，①③④互相垂直． 故答案是：①③④．

三、解答题（本大题共7小题，共63分）

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20．计算：|1﹣|+2cos45°﹣

+（）﹣1．

【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值． 【分析】根据绝对值的意义、特殊角的三角函数值、二次根式的化简和负指数幂的运算，分别求得每项的值，再进行计算即可． 【解答】解： |1﹣=

|+2cos45°﹣

﹣2

+（）﹣1 +2

﹣1+2×

=﹣1+﹣2+2 =1．

21．为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了x名学生进行调查统计9要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如下统计图表： 学生最喜爱的节目人数统计表

节目 人数 百分比 （名） 最强大脑 5 10% 朗读者 15 b% 中国诗词大会 a 40% 出彩中国人 10 20% 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）x= 50 ，a= 20 ，b= 30 ； （2）补全上面的条形统计图；

（3）若该校共有学生1000名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名．

【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VA：统计表． 【分析】（1）根据最强大脑的人数除以占的百分比确定出x的值，进而求出a与b的值即可；

（2）根据a的值，补全条形统计图即可；

（3）由中国诗词大会的百分比乘以1000即可得到结果．

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【解答】解：（1）根据题意得：x=5÷10%=50，a=50×40%=20，b=故答案为：50；20；30；

（2）中国诗词大会的人数为20人，补全条形统计图，如图所示：

×100=30；

（3）根据题意得：1000×40%=400（名），

则估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有400名．

22．如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度．

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，在直角三角形ABC中，由题意确定出AB的长，进而确定出EC的长，在直角三角形AED中，由题意求出ED的长，由EC﹣ED求出DC的长即可．

【解答】解：延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE， 在Rt△AED中，AE=BC=30m，∠EAD=30°， ∴ED=AEtan30°=10m，

在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=30m， ∴AB=30m，

则CD=EC﹣ED=AB﹣ED=30﹣10=20m．

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23．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，

（1）求证：DE=DB；

（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．

【考点】MA：三角形的外接圆与外心． 【分析】（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB； （2）由（1）得：，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC=

=4

，即可得出△ABC外接圆的半径．

【解答】（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD， ∴，

∴∠DBC=∠CAD， ∴∠DBC=∠BAE，

∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE， ∴∠DBE=∠DEB， ∴DE=DB；

（2）解：连接CD，如图所示： 由（1）得：， ∴CD=BD=4， ∵∠BAC=90°， ∴BC是直径， ∴∠BDC=90°， ∴BC=

=4

，

=2

．

∴△ABC外接圆的半径=×4

24．某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月

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缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示． （1）求y关于x的函数解析式；

（2）若某用户二、三月份共用水40cm3（二月份用水量不超过25cm3），缴纳水

3

费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少m？

【考点】FH：一次函数的应用． 【分析】（1）根据函数图象可以分别设出各段的函数解析式，然后根据函数图象中的数据求出相应的函数解析式；

（2）根据题意对x进行取值进行讨论，从而可以求得该用户二、三月份的用水量各是多少m3． 【解答】解：（1）当0≤x≤15时，设y与x的函数关系式为y=kx， 15k=27，得k=1.8，

即当0≤x≤15时，y与x的函数关系式为y=1.8x， 当x＞15时，设y与x的函数关系式为y=ax+b，

，得

，

即当x＞15时，y与x的函数关系式为y=2.4x﹣9， 由上可得，y与x的函数关系式为y=

；

（2）设二月份的用水量是xm3，

当15＜x≤25时，2.4x﹣9+2.4（40﹣x）﹣9=79.8， 解得，x无解，

当0＜x≤15时，1.8x+2.4（40﹣x）﹣9=79.8， 解得，x=12， ∴40﹣x=28，

答：该用户二、三月份的用水量各是12m3、28m3．

25．数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，

CD，AC三者之间有何等量关系？ 若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，

经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．

小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使

AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．

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