以函数、数列、三角形、不等式等实际问题(教学案)-2017年高考数(2)

解析：（1）由题设知每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列. 设纯收入与年数的关系为

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f(n),则f(n)?50n?[12?16???(8?4n)]?98?40n?2n2?98.获利即为f(n)?0,

由40n?2n2?98?0,得 n2?20n?49?0,解之得 10?51?n?10?51,即

2.2?n?17.1,又n?N,?n?3,4,?,17.故当n?3时即第3年开始获利;

(2)方案①,年平均收入?f(n)94949?40?2(n?),?n??2n??14,当且仅当nnnnn?7时取”=”.

?f(n)?40?2?14?12(万元)，即年平均收益,总收益为12?7?26?110万元,此时nn?7

方案②,f(n)??2(n?10)2?102,?当n?10时,f(n)max?102,总收益为110万元, 但方案①需7年, 方案②需10年,故应选择方案①．

点评：用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论．处理分期付款问题的注意事项：(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)；(2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可以顺利建立等量关系．

3 与不等式相关的实际应用问题

不等式型的数学实际应用问题，常考两种类型：一是由题意建立数学模型，设立目标函数，列出不等式组，再作出不等式组作代表的平面区域图形（即可行解区域），根据区域来求出目标函数最值，即是使用线性规划的方法求出最值；二是考查以“实际问题为背景”与函数的极值问题相结合成为高考的热点和难点，可以巧妙利用不等式模型进行处理.

例4【山西运城2017届高三上学期期中，11】某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品1件需消耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品1件需消耗A原料2千克，B原料1千克；每件甲产品的利润是300元，每件乙产品的利润是400元，公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克，通过合理安排计划，从每天生产的甲，乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ） A．1800元

B．2400元

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C．2800元 D．3100元

【答案】C

?x?2y?12?【解析】设生产甲x，乙y，依题意有?2x?y?12，目标函数z?300x?400y，作出可行

?x,y?N?域如下图所示，由图可知，目标函数在点B?4,4?取得最大值为2800.

点评：本题主要考查线性规划来解实际应用问题.考查目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题. 线性目标函数z?Ax?By?C（A,B不全为0）中，当B?0时，

y??Az?CA，这样线性目标函数可看成斜率为?，且随z变化的一组平行线，则把求zx?BBB的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在y轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线y??Ax，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域B的顶点就是最优解.特别注意，当B?0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B?0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断.

4 与三角函数、三角形相关的实际应用问题

三角函数既是解决生产实际问题的工具，又是进一步学习的基础，高考中常会考察与三角函数有关的实际问题，需要建立三角函数模型将实际问题转化为数学问题.解决三角实际问题的关键有三点：一是仔细审题，准确理解题意，分析条件和结论，明确问题的实际背景，理清问题中各个量之间的数量关系；二是合理选取参变量，设定变元，寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系；三是建立与求解相应的三角函数模型.将文字语言、图形语言、符号语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，求解数学模型，得出数学结论.

例5【河北省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试】如图，某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东偏北?角方向的OB.位于该市的某大学M与市中

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心O的距离OM?313km，且?AOM??.现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M.其中tan??2，cos??3，13AO?15km.

（Ⅰ）求大学M与A站的距离AM； （Ⅱ）求铁路AB段的长AB.

os??思路分析：（Ⅰ）在?AOM中，利用已知及余弦定理即可解得AM的值；（Ⅱ）由c3，13且?为锐角，可求sin?，由正弦定理可得sin?MAO，结合tan??2，可求sin?，cos?，

sin?ABO，sin?AOB，结合AO?15，由正弦定理即可解得AB的值．

试题解析：（I）在?AOM中，AO?15，?AOM??且cos??3，OM?313， 13由余弦定理得，AM?OA?OM?2OAOMcos?AOM，

222?(313)2?152?2?313?15?3?13?9?15?15?2?3?15?3?72. 13∴AM?62，即大学M与站A的距离AM为62km. （II）∵cos??32，且?为锐角，∴sin??， 1313AMOM?， sin?sin?MAO在?AOM中，由正弦定理得，

62?3132即2?，∴sin?MAO?，∴?MAO?，

4213sin?MAO∴?ABO????4，∵tan??2，∴sin??21，cos??，

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∴sin?ABO?sin(???4)?12，又?AOB????，∴sin?AOB?sin(???)?， 105ABAO?，

sin?AOBsin?ABO在?AOB中，AO?15，由正弦定理得，

即

AB15?，∴AB?302，即铁路AB段的长AB为302km. 21510点评：本题以实际生活为背景考查了解三角形的应用，属于中等题.解三角形的核心问题就是处理好边和角的关系，即如何灵活的进行边角的转化，可以选择的知识有五点需要注意：内角和定理、面积公式（特别是正弦形式）、正弦定理、余弦定理、平面基本性质.我们的思路就是对这五点知识进行整合，同时，要注意对角的范围的挖掘，以及对局部小三角形性质的挖掘成为了解题的关键.

综合上面四种题型，可以采取以下几种技巧和方法：①对实际问题进行模式识别，涉及增长率的实际问题，可以考虑数列的相关模型；关于产量、物价、路程等实际问题，通常会联系到方程、函数、不等式的相关模型；对于测量、航行，物理中的振动、摆动问题，可以从三角函数的相关知识考虑.②运用数形结合法解应用题.③运用数学的建模思维解应用题.

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