以函数、数列、三角形、不等式等实际问题(教学案)-2017年高考数

以函数、数列、三角形、不等式等实际问题

高考实际应用题一直是高考当中的重点与难点，虽有较为清晰的数学概念分析，但是如果学生对应用题当中的数学公式的基本应用没有一个较为清晰的理解，往往会陷入到应用的“陷阱”当中.因此良好的解题思路，以及正确的解题方式，是高考数学应用解题的重点.高考实际应用问题常常在函数、数列、三角函数和三角形、不等式中体现.因此对于高考数学应用题的解题方向来看，我们应当从构建具体的思维应用模式出发. 1 与函数相关的实际应用问题

函数是高中数学的主干和核心知识，以函数知识为背景的应用题一直活跃在高考的舞台上，引入关注，随着知识的更新，函数应用问题中的模型也越来越新颖.高考函数应用问题的热点模型主要有：一次、二次函数型，三次函数型，指数、对数函数型，分段函数型等.解函数应用问题的步骤(四步八字)：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．

例1 【山东省滨州市2017届第一学期高三期中】近日，某公司对其生产的一款产品进行促销活动，经测算该产品的销售量P（单位：万件）与促销费用x（单位：万元）满足函数关系

2（其中0?x?a，a为正常数）．已知生产该产品的件数为P（单位：万件）时，x?120)元/件，还需投入成本10?2P（单位：万元）（不含促销费用），产品的销售价格定为(4?PP?3?假设生产量与销售量相等．

（1）将该产品的利润y（单位：万元）表示为促销费用x（单位：万元）的函数； （2）促销费用x（单位：万元）是多少时，该产品的利润y（单位：万元）取最大值． 思路分析：（1）利润等于销售额(4?202)p减去促销费用p?3?与投入成本10?2P之px?1和由题意p?3?24?x(0?x?a)．注意标注定义域 得，将入化简得y?16?x?1x?1（2）分数函数求最值，先考虑基本不等式

y?17?(44?x?1)?17?2?(x?1)?13，注意考虑等号成立条件：当且仅当x?1x?14?x?1，即x?1．然后根据1与a大小关系进行分类讨论：当a?1时，等号成立，即x?1

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x?1利润最大；当0?a?1时，利用导数研究函数单调性y\'?4?1?0，即2(x?1)y?17?(4?x?1)在?0,a?上单调递增，所以x?a时利润最大． x?1试题解析：（1）由题意得y?(4?202)p?x?(10?2p)，将p?3?代入化简得px?1y?16?4?x(0?x?a)． x?1444?x?1，，当且仅当即x?1时，?x?1)?17?2?(x?1)?13x?1x?1x?1（2）y?17?(等号成立．当a?1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当0?a?1时，

y\'?44?1?0，所以y?17?(?x?1)在?0,a?上单调递增，所以x?a时，函数2(x?1)x?1有最大值，即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上所述，当a?1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当0?a?1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大． 点评：解决实际应用问题首先要弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型，然后将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；本题已直接给出模型，只需确定其待定参数即可.求解数学模型，得出数学结论，这一步骤在应用题中要求不高，难度中等偏下，本题是一个简单的利用导数求最值的问题.首先利用导数的几何意义是切点处切线的斜率，然后再利用导数求极值与最值. 例2【山西运城2017届高三上学期期中】为了保护环境，发展低碳经济，某单位再国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y?利用的化工产品价值为100元．

（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

思路分析：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：

12x?200x?80000，且每处理一顿二氧化碳得到可2y180000?x??200，利x2x用基本不等式，可求得当x?400时平均处理成本最低；（2）先求得获利表达式

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1S??(x?300)2?35000，因为400?x?600，所以当x?400时，S有最大值?40000，

2所以至少要补贴40000.

试题解析：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：

y180000180000?x??200?2x??200?200， x2x2x180000x?，即x?400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元． 2x1（2）设该单位每月获利为S，则S?100x?y?100x?(x?200x?80000)

211??x2?300x?80000??(x?300)2?35000，

22当且仅当

因为400?x?600，所以当x?400时，S有最大值?40000． 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．

点评：本题主要考查实际应用问题，考查利用基本不等式求最值的方法，考查利用二次函数性质求最值的方法.第一问成本的表达式已经给出为y?12x?200x?80000，再除以x就得2到平均成本，观察这个平均成本，发现可以利用基本不等式求最值，基本不等式求最值要注意一正二定三相等.第二问要求补贴的最小值，也即是要求亏损的最大值.先列出获利的表达式，利用配方法求得最值. 2 与数列相关的实际应用问题

在高考中，经常会遇到求增长率和利息、分期付款等实际问题，对于这类问题，常常构造等差或等比数列模型来求解.数列应用题常见模型：（1）等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差；（2）等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an?1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn?1之间的递推关系．

例3某渔业公司年初用98万元购得一艘捕渔船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年的捕鱼收益50万元 （1）第几年开始获利？

(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船； ②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船.请问：选择哪种方案更好？

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