2016年01月01日几何综合1(8)

（3）BD=AB+BC．

延长BC至G，使CG=AB， ∵∠ADC=60°和等腰△ACD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ABC=2∠CAD=120°， ∴∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠BAD=∠GCD， 在△DAB和△DCG中，

，

∴△DAB≌△DCG，

∴DB=DG，∠CDG=∠ADB，又∠ADB+∠BDC=60°， ∠CDG+∠BDC=60°， ∴△DBG是等边三角形， ∴BD=BG=AB+BC．

【点评】本题考查的是正方形、等腰直角三角形、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关定理是解题的关键． 11．（2015秋?江津区月考）如图，点E为正方形ABCD的边BC所在直线上的一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于F，连接BF．

（1）如图1，当点E在CB的延长线上，且AC=EC时，求证：BF=

；

（2）如图2，当点E在线段BC上，且AE平分∠BAC时，求证：AB+BE=AC；

（3）如图3，当点E继续往右运动到BC中点时，过点D作DH⊥AE于H，连接BH．求证：∠BHF=45°．

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【考点】四边形综合题． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边中线的性质即可证得结论；

（2）作EG⊥AC于G，根据角平分线的性质得出BE=EG，进而通过RT△ABE≌RT△AGE得出AG=AB，然后证得△EGC是等腰直角三角形，从而证得EG=GC，即可证得AB+BE=AC；

（3）设正方形的边长为1，则AB=AD=1，BE=EC=，根据勾股定理求得AE=△AEB∽△CEF，△ADH∽△EAB，对应边成比例证得CF=AH=

，然后通过证得

，然后根据SAS证得△ABH≌△CBF，

证得BH=BF，∠ABH=∠CBF，从而证得△HBF是等腰直角三角形，从而证得∠BHF=45°． 【解答】（1）证明：如图1，∵AC=EC，CF⊥AE， ∴AF=EF，

∴BF是RT△ABE的斜边的中线， ∴BF=AE；

（2）如图2，作EG⊥AC于G， ∵AE平分∠BAC，AB⊥BE， ∴BE=EG，

在RT△ABE和RT△AGE中

，

∴RT△ABE≌RT△AGE（HL）， ∴AG=AB，

∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB=45°， ∴∠GEC=45°，

∴∠GEC=∠ACB=45°， ∴EG=GC，

∴AB+BE=AG+GC， 即AB+BE=AC；

（3）如图3，设正方形的边长为1，则AB=AD=1， ∵点E是BC中点， ∴BE=EC=， ∴AE=

=

，

∵∠ABE=∠CFE=90°，∠AEB=∠CEF，

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∴△AEB∽△CEF，

∴=，即=，

∴CF=，

∵AD∥BC，

∴∠DAH=∠AEB， ∵∠AHD=∠BEA=90°， ∴△ADH∽△EAB， ∴

=

，即

=

，

∴AH=，

∴CF=AH，

在△ABH和△CBF中

∴△ABH≌△CBF（SAS）， ∴BH=BF，∠ABH=∠CBF， ∵∠ABH+∠HBE=∠ABE=90°，∴∠HBF=90°，

∴△HBF是等腰直角三角形， ∴∠BHF=45°．

第38页（共84页）

【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 12．（2015秋?哈尔滨校级月考）如图，四边形ABCD是正方形，E是边AB上一点，连接DE，将直线DE绕点D逆时针旋转90°，交BC的延长线于点F． （1）如图1，求证：DE=DF；

（2）如图2，连接EF，若D关于直线EF的对称点为H，连接CH，过点H作PH⊥CH交AB于点P，求证：E为AP中点；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC交EF于点G，连接BG，BH，若BG=，AB=3，求线段BH的长

【考点】四边形综合题． 【分析】（1）全等三角形是证明两条线段相等的重要方法之一．只要证明△ADE≌△CDF，即可得到DE=DF； （2）连接HE，HF，由点H与点D关于直线EF对称，所以EH=ED，FH=FD．因为DE=DF，所以

EH=FH=ED=FD．即四边形DEHF是菱形．由∠EDF=90°，得到四边形DEHF是正方形，利用正方形的性质证明△HPE≌△HCF，得到PE=CF，所以AE=PE，得到点E是AP的中点； （3）过点E作EK∥BF，利用全等三角形的判定和性质进行解答． 【解答】证明：（1）∵旋转， ∴∠EDF=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=∠A=∠DCB=90°，AD=DC ∴∠ADC=∠EDF=∠DCF=∠A=90°， ∴∠ADC﹣∠EDC=∠EDF﹣∠EDC， 即∠ADE=∠CDF， 在△ADE与△CDF中，

，

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∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴DE=DF；

（2）连接EH，FH，如图2

∵D、H关于EF对称， ∴EF垂直平分DH， ∴HE=DE，DF=HF， 又∵EF=EF，

∴△EDF≌△EHF， ∴∠EHF=∠EDF=90°， 又∵∠B=∠EHF=90°， ∴∠BPH=∠BCH， ∴∠EPH=∠FCH， 又∵DE=DF， ∴EH=HF， 又∵PH⊥CH，

∴∠PHC=∠EHF=90°， ∴∠PHE=∠CHF， ∴△PEH≌△CFH， ∴CF=PE，

又∵△ADE≌△CDF ∴AE=CF， ∴AE=PE，

∴E为AP中点；

（3）过点E作EK∥BF，如图3：

∵EK∥BF，

∴∠EKA=∠BCA=45°，∠EKG=∠FCG，∴∠EAK=∠EKA=45°，

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